En la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ , $D$ es el punto medio de $ \stackrel{\frown}{BC}$ . Sea $X$ un punto en $ \stackrel{\frown}{BD}$ , $E$ el punto medio de $ \stackrel{\frown}{AX}$ , y sea $S$ que se encuentra en $ \stackrel{\frown}{AC}$ . Las líneas $SD$ y $BC$ tienen intersección $R$ , y las líneas $SE$ y $AX$ tienen intersección $T$ . Si $RT \parallel DE$ , demostrar que el incentro del triángulo $ABC$ está en la línea $RT.$

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales, demostrar que; $\sum_{i=1}^na_i^2-\sum_{i=1}^n a_i a_{i+1} \le \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor(M-m)^2.$ donde $a_{n+1}=a_1,M=\max_{1\le i\le n} a_i,m=\min_{1\le i\le n} a_i$ .

Sea $0 \leq \alpha , \beta , \gamma \leq \frac{\pi}{2}$, tal que $\cos ^{2} \alpha + \cos ^{2} \beta + \cos ^{2} \gamma = 1$. Demuestre que $2 \leq (1 + \cos ^{2} \alpha ) ^{2} \sin^{4} \alpha + (1 + \cos ^{2} \beta ) ^{2} \sin ^{4} \beta + (1 + \cos ^{2} \gamma ) ^{2} \sin ^{4} \gamma \leq (1 + \cos ^{2} \alpha )(1 + \cos ^{2} \beta)(1 + \cos ^{2} \gamma ).$

Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x^2 + xy + y^2 = \frac{25}{4}$, $y^2 + yz + z^2 = 36$ y $z^2 + zx + x^2 = \frac{169}{4}$. Encuentre el valor de $xy + yz + zx$.

Sea $A$ el conjunto de enteros de $n$ dígitos cuyos dígitos son todos de $\{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$. $B$ es un subconjunto de $A$ tal que contiene el dígito $5$, y no hay ningún dígito $3$ delante del dígito $5$ (es decir, para $n = 2$, $35$ no está permitido, pero $53$ sí lo está). ¿Cuántos elementos tiene el conjunto $B$?

Sean los números positivos $a_1, a_2, ..., a_{3n}$ $(n \geq 2)$ que constituyen una progresión aritmética con diferencia común $d > 0$. Demuestre que entre cualesquiera $n + 2$ términos en esta progresión, existen dos términos $a_i, a_j$ $(i \neq j)$ que satisfacen $1 < \frac{|a_i - a_j|}{nd} < 2$.

Sea $f$ una función de R a R. Suponga que tenemos: (1) $f(0)=0$ (2) Para todo $x, y \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, tenemos $f(\frac{1}{x})+f(\frac{1}{y})=f(\frac{x+y}{1+xy})$. (3) Si $x \in (-1,0)$, entonces $f(x) > 0$. Demuestre: $\sum_{n=1}^{+\infty} f(\frac{1}{n^2+7n+11}) > f(\frac12)$ con $n \in N^+$.

Sea $AB$ una cuerda de un círculo con centro $O$, $M$ es el punto medio de $AB$. Una cuerda no diametral se dibuja a través de $M$ e interseca el círculo en $C$ y $D$. Las tangentes del círculo desde los puntos $C$ y $D$ intersecan la línea $AB$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestre que $PA$ = $QB$.

Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ . El punto tangente de $\odot I$ en $AB,AC$ es $D,E$ , respectivamente. Sea $BI \cap AC = F$ , $CI \cap AB = G$ , $DE \cap BI = M$ , $DE \cap CI = N$ , $DE \cap FG = P$ , $BC \cap IP = Q$ . Demuestre que $BC = 2MN$ es equivalente a $IQ = 2IP$ .

Dados rejillas de $2018 \times 4$ y tintarlas con rojo y azul. De modo que cada fila y cada columna tenga el mismo número de rejillas rojas y azules, respectivamente. Suponga que hay $M$ formas de tintar las rejillas con el requisito mencionado. Determine $M \pmod {2018}$ .