Dado $k \in \mathbb{N}^+$ . Una secuencia de subconjuntos del conjunto de enteros $\mathbb{Z} \supseteq I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots \supseteq I_k$ se llama una $k-cadena$ si para cada $1 \le i \le k$ tenemos (i) $168 \in I_i$ ; (ii) $\forall x, y \in I_i$ , tenemos $x-y \in I_i$ . Determine el número total de $k-cadenas$ .