Sean $K$ y $M$ puntos en el lado $AB$ de un triángulo $\triangle{ABC}$ , y sean $L$ y $N$ puntos en el lado $AC$ . El punto $K$ está entre $M$ y $B$ , y el punto $L$ está entre $N$ y $C$ . Si $\frac{BK}{KM}=\frac{CL}{LN}$ , entonces demuestre que los ortocentros de los triángulos $\triangle{ABC}$ , $\triangle{AKL}$ y $\triangle{AMN}$ se encuentran en una línea.

$d$ y $n$ son enteros positivos tales que $d \mid n$ . Los conjuntos de n números $(x_1, x_2, \cdots x_n)$ satisfacen la siguiente condición: (1) $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \leq n$ (2) $d \mid (x_1+x_2+ \cdots x_n)$ Demuestre que en todos los conjuntos de n números que cumplen las condiciones, exactamente la mitad satisfacen $x_n=n$ .

$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ son números positivos tales que $\sum_{i=1}^{n}x_{i}= 1$ . Demuestre que \[\left( \sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_{i}}\right) \left( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{1+x_{i}}}\right) \leq \frac{n^{2}}{\sqrt{n+1}}\]

El centro de la circunferencia circunscrita del cuadrilátero $ABCD$ es $O$ y $O$ no está en ninguno de los lados de $ABCD$ . $P=AC \cap BD$ . Los circuncentros de $\triangle{OAB}$ , $\triangle{OBC}$ , $\triangle{OCD}$ y $\triangle{ODA}$ son $O_1$ , $O_2$ , $O_3$ y $O_4$ respectivamente. Demuestre que $O_1O_3$ , $O_2O_4$ y $OP$ son concurrentes.

Sean $a_{i}$ y $b_{i}$ ( $i=1,2, \cdots, n$ ) números racionales tales que para cualquier número real $x$ existe: \[x^{2}+x+4=\sum_{i=1}^{n}(a_{i}x+b)^{2}\] Encuentre el valor mínimo posible de $n$ .

Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del $\triangle{ABC}$ . $P$ es un punto interior del $\triangle{ABC}$ . $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ son las intersecciones de $AP, BP, CP$ respectivamente y $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ son los puntos simétricos de $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ con respecto a los puntos medios del lado $BC, CA, AB$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del $\triangle{A_{2}B_{2}C_{2}}$ pasa por el ortocentro del $\triangle{ABC}$ .

Dos secuencias de valores positivos $\{ a_{n}\}$ y $\{ b_{n}\}$ satisfacen: (a): $a_{0}=1 \geq a_{1}$ , $a_{n}(b_{n+1}+b_{n-1})=a_{n-1}b_{n-1}+a_{n+1}b_{n+1}$ , $n \geq 1$ . (b): $\sum_{i=1}^{n}b_{i}\leq n^{\frac{3}{2}}$ , $n \geq 1$ . Encuentre el término general de $\{ a_{n}\}$ .

Dado $n$ números reales $a_1$ , $a_2$ $\ldots$ $a_n$ . ( $n\geq 1$ ) . Pruebe que existen números reales $b_1$ , $b_2$ $\ldots$ $b_n$ que satisfacen: (a) Para cualquier $1 \leq i \leq n$ , $a_i - b_i$ es un entero positivo. (b ) $\sum_{1 \leq i < j \leq n} (b_i - b_j)^2 \leq \frac{n^2-1}{12}$

Encuentre todos los pares de enteros positivos $(a,n)$ tales que $\frac{(a+1)^n-a^n}{n}$ es un entero.

$ABCD$ es un trapecio con $AB || CD$ . Hay dos círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ en el trapecio tal que $\omega_1$ es tangente a $DA$ , $AB$ , $BC$ y $\omega_2$ es tangente a $BC$ , $CD$ , $DA$ . Sea $l_1$ una línea que pasa por $A$ y es tangente a $\omega_2$ (distinta de $AD$ ) , Sea $l_2$ una línea que pasa por $C$ y es tangente a $\omega_1$ (distinta de $CB$ ) . Demuestre que $l_1 || l_2$ .