Sea $S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}$, donde $n$ es un entero positivo. Demuestre que para cualquier número real $a,b,0\le a\le b\le 1$, existen infinitos $n\in\mathbb{N}$ tales que \[a<S_n-[S_n]<b\] donde $[x]$ representa el entero más grande que no excede a $x$.

Sean $P_0 ,P_1 ,P_2 , ... ,P_n$ sean $n+1$ puntos en el plano. Sea $d$ ( $d>0$ ) denota el valor mínimo de todas las distancias entre dos puntos cualesquiera. Demuestre que \[|P_0P_1|\cdot |P_0P_2|\cdot ... \cdot |P_0P_n|>(\frac{d}{3})^n\sqrt{(n+1)!}.\]

Demuestre que el conjunto $\{2,2^2,\ldots,2^n,\ldots\}$ satisface las siguientes propiedades: (1) Para cada $a\in A, b\in\mathbb{N}$, si $b<2a-1$, entonces $b(b+1)$ no es un múltiplo de $2a$; (2) Para cada entero positivo $a\notin A,a\ne 1$, existe un entero positivo $b$, tal que $b<2a-1$ y $b(b+1)$ es un múltiplo de $2a$.

En un triángulo acutángulo $ABC$, $AB>AC$. $M,N$ son puntos distintos en el lado $BC$ tales que $\angle BAM=\angle CAN$. Sean $O_1,O_2$ los circuncentros de $\triangle ABC, \triangle AMN$, respectivamente. Demuestre que $O_1,O_2,A$ son colineales.

En el plano cartesiano $XOY$, hay un rombo $ABCD$ cuyos lados tienen longitud $4$ y $|OB|=|OD|=6$, donde $O$ es el origen. (1) Demuestre que $|OA|\cdot |OB|$ es una constante. (2) Encuentre el lugar geométrico de $C$ si $A$ es un punto en el semicírculo \[(x-2)^2+y^2=4 \quad (2\le x\le 4).\]

Dada una sucesión $\{a_n\}$ cuyos términos son números reales no nulos. Para cualquier entero positivo $n$, la igualdad \[(\sum_{i=1}^{n}a_i)^2=\sum_{i=1}^{n}a_i^3\] se cumple. (1) Si $n=3$, encuentre todas las posibles sucesiones $a_1,a_2,a_3$; (2) ¿Existe tal sucesión $\{a_n\}$ tal que $a_{2011}=-2012$ ?

Dada una función $f(x)=a\sin x-\frac{1}{2}\cos 2x+a-\frac{3}{a}+\frac{1}{2}$, donde $a\in\mathbb{R}, a\ne 0$. (1) Si para cualquier $x\in\mathbb{R}$, la desigualdad $f(x)\le 0$ se cumple, encuentre todos los valores posibles de $a$. (2) Si $a\ge 2$, y existe $x\in\mathbb{R}$, tal que $f(x)\le 0$. Encuentre todos los valores posibles de $a$.

Hay $4$ códigos distintos usados en una estación de inteligencia, uno de ellos aplicado en cada semana. No hay dos códigos usados en dos semanas adyacentes que sean el mismo código. Sabiendo que el código $A$ se usa en la primera semana, encuentre la probabilidad de que el código $A$ se use en la séptima semana.

Encuentre la suma de todos los enteros $n$ que satisfacen la siguiente desigualdad: \[\frac{1}{4}<\sin\frac{\pi}{n}<\frac{1}{3}.\]

Sea $f(x)$ una función impar en $\mathbb{R}$, tal que $f(x)=x^2$ cuando $x\ge 0$. Sabiendo que para todo $x\in [a,a+2]$, la desigualdad $f(x+a)\ge 2f(x)$ se cumple, encuentre el rango del número real $a$.