Ordene todos los enteros positivos libres de cuadrados en orden ascendente $a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n,\ldots$ . Demuestre que hay infinitos enteros positivos $n$ , tales que $a_{n+1}-a_n=2020$ .

En un cuadrilátero $ABCD$ , $\angle ABC=\angle ADC <90^{\circ}$ . El círculo con diámetro $AC$ interseca a $BC$ y $CD$ nuevamente en $E,F$ , respectivamente. $M$ es el punto medio de $BD$ , y $AN \perp BD$ en $N$ . Demuestre que $M,N,E,F$ son concíclicos.

Considere el conjunto $I=\{ 1,2, \cdots, 2020 \}$ . Sean $W= \{w(a,b)=(a+b)+ab | a,b \in I \} \cap I$ , $Y=\{y(a,b)=(a+b) \cdot ab | a,b \in I \} \cap I$ sus dos subconjuntos. Además, sea $X= W \cap Y$ . (1) Encuentra la suma de los elementos máximo y mínimo en $X$ . (2) Un elemento $n=y(a,b) (a \le b)$ en $Y$ se llama excelente , si su representación no es única (por ejemplo, $20=y(1,5)=y(2,3)$ ) . Encuentra el número de elementos excelentes en $Y$ . Nota (2) es solo para el grado 11.

Sea $0\leq a_1\leq a_2\leq\hdots\leq a_{n-1}\leq a_n$ tal que $a_1+a_2+\hdots+a_n=1$ . Demuestre que para cualquier número no negativo $x_1,x_2,\hdots,x_n$ , $y_1,y_2,\hdots,y_n$ la desigualdad $$\left(\sum_{i=1}^n a_ix_i - \prod_{i=1}^n x_i^{a_i}\right) \n\left(\sum_{i=1}^n a_iy_i - \prod_{i=1}^n y_i^{a_i}\right) \leq a_n^2\left(n\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i\sum_{i=1}^n y_i} - \sum_{i=1}^n\sqrt{x_i} \sum_{i=1}^n\sqrt{y_i}\right)^2.$$

Dado un polinomio $f(x)=x^{2020}+\sum_{i=0}^{2019} c_ix^i$ , donde $c_i \in \{ -1,0,1 \}$ . Denotemos por $N$ el número de raíces enteras positivas de $f(x)=0$ (contando multiplicidad). Si $f(x)=0$ no tiene raíces enteras negativas, encuentra el máximo de $N$ .

En un triángulo escaleno $\Delta ABC$ , $AB<AC$ , $PB$ y $PC$ son tangentes a la circunferencia circunscrita $(O)$ de $\Delta ABC$ . Un punto $R$ se encuentra en el arco $\widehat{AC}$ (que no contiene a $B$ ) , $PR$ interseca a $(O)$ nuevamente en $Q$ . Suponga que $I$ es el incentro de $\Delta ABC$ , $ID \perp BC$ en $D$ , $QD$ interseca a $(O)$ nuevamente en $G$ . Una línea que pasa por $I$ y es perpendicular a $AI$ interseca a $AG,AC$ en $M,N$ , respectivamente. $S$ es el punto medio del arco $\widehat{AR}$ , y $SN$ interseca a $(O)$ nuevamente en $T$ . Demuestre que, si $AR \parallel BC$ , entonces $M,B,T$ son colineales.

Sean $a_1,a_2,\dots, a_{17}$ una permutación de $1,2,\dots, 17$ tal que $(a_1-a_2)(a_2-a_3)\dots(a_{17}-a_1)=2^n$ . Encuentre el máximo valor posible del entero positivo $n$ .

Usando una boquilla para pintar cada cuadrado en una franja de $1 \times n$, cuando la boquilla apunta al $i$ - ésimo cuadrado, el cuadrado se pinta de negro, y simultáneamente, su cuadrado vecino izquierdo y derecho (si existe) cada uno tiene una probabilidad independiente de $\tfrac{1}{2}$ de ser pintado de negro. En la estrategia óptima (es decir, lograr el menor número posible de pintura), la expectativa del número de pintura para pintar todos los cuadrados de negro, es $T(n)$ . Encuentra la fórmula explícita de $T(n)$ .

Dado cualquier primo $p \ge 3$ . Muestre que para todo entero positivo $x$ suficientemente grande, al menos uno de $x+1,x+2,\cdots,x+\frac{p+3}{2}$ tiene un divisor primo mayor que $p$ .

En un cuadrilátero $ABCD$ , $\angle ABC=\angle ADC <90^{\circ}$ . El círculo con diámetro $AC$ interseca a $BC$ y $CD$ nuevamente en $E,F$ , respectivamente. $M$ es el punto medio de $BD$ , y $AN \perp BD$ en $N$ . Demuestre que $M,N,E,F$ son concíclicos.