Demuestre que para todo entero positivo dado $n$ , existe un primo $p$ y un entero $m$ tal que \n$(a)$ $p \equiv 5 \pmod 6$\n$(b)$ $p \nmid n$\n$(c)$ $n \equiv m^3 \pmod p$

En el triángulo $ABC$ , $AB = AC$ . El punto $D$ es el punto medio del lado $BC$ . El punto $E$ se encuentra fuera del triángulo $ABC$ tal que $CE \perp AB$ y $BE = BD$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $BE$ . El punto $F$ se encuentra en el arco menor $\widehat{AD}$ de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ tal que $MF \perp BE$ . Demuestre que $ED \perp FD.$

Sea $n$ un entero mayor que dos, y sean $A_1,A_2, \cdots , A_{2n}$ subconjuntos distintos por pares de $\{1, 2, ,n\}$ . Determine el valor máximo de \[\sum_{i=1}^{2n} \dfrac{|A_i \cap A_{i+1}|}{|A_i| \cdot |A_{i+1}|}\] Donde $A_{2n+1}=A_1$ y $|X|$ denota el número de elementos en $X.$

Un examen contiene $5$ preguntas de opción múltiple que tienen $4$ opciones en cada una. Suponga que cada examinando eligió una opción para cada pregunta. Existe un número $n$, tal que para cualquier $n$ hojas entre $2000$ hojas de hojas de respuestas, hay $4$ hojas de hojas de respuestas tales que cualesquiera dos de ellas tienen como máximo $3$ preguntas con las mismas respuestas. Encuentre el valor mínimo de $n$.

Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que existen enteros $n_1,\ldots,n_k\ge 3$, para algún entero $k$, satisfaciendo \[n=n_1n_2\cdots n_k=2^{\frac{1}{2^k}(n_1-1)\cdots (n_k-1)}-1.\]

Dado una $n$ - tupla ordenada $A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ de números reales, donde $n\ge 2$, definimos $b_k=\max{a_1,\ldots a_k}$ para cada k. Definimos $B=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$ como la 'tupla innovada' de $A$. El número de elementos distintos en $B$ se llama el 'grado innovado' de $A$. Considere todas las permutaciones de $1,2,\ldots ,n$ como una $n$ - tupla ordenada. Encuentre la media aritmética del primer término de las permutaciones cuyos grados innovados son todos iguales a $2$.

Un club de tenis de mesa organiza una serie de partidos de dobles siguiendo varias reglas: (i) cada jugador pertenece como máximo a dos parejas; (ii) cada dos parejas distintas juegan un partido entre sí como máximo; (iii) los jugadores de la misma pareja no juegan entre sí cuando se emparejan con otros respectivamente. Cada jugador juega un cierto número de partidos en esta serie. Todos estos números distintos forman un conjunto llamado 'conjunto de juegos'. Considere un conjunto $A=\{a_1,a_2,\ldots ,a_k\}$ de enteros positivos tal que cada elemento de $A$ es divisible por $6$. Determine el número mínimo de jugadores necesarios para participar en esta serie de modo que exista un calendario para el cual el conjunto de juegos correspondiente sea igual al conjunto $A$.

Una secuencia $(a_n)$ se define recursivamente por $a_1=0, a_2=1$ y para $n\ge 3$, \[a_n=\frac12na_{n-1}+\frac12n(n-1)a_{n-2}+(-1)^n\left(1-\frac{n}{2}\right).\] Encuentre una expresión en forma cerrada para $f_n=a_n+2\binom{n}{1}a_{n-1}+3\binom{n}{2}a_{n-2}+\ldots +(n-1)\binom{n}{n-2}a_2+n\binom{n}{n-1}a_1$.

Los lados $a,b,c$ del triángulo $ABC$ satisfacen $a\le b\le c$. El circunradio y el inradio del triángulo $ABC$ son $R$ y $r$ respectivamente. Sea $f=a+b-2R-2r$. Determine el signo de $f$ según la medida del ángulo $C$.

Usando una boquilla para pintar cada cuadrado en una franja de $1 \times n$, cuando la boquilla apunta al $i$ - ésimo cuadrado, el cuadrado se pinta de negro, y simultáneamente, su cuadrado vecino izquierdo y derecho (si existe) cada uno tiene una probabilidad independiente de $\tfrac{1}{2}$ de ser pintado de negro. En la estrategia óptima (es decir, lograr el menor número posible de pintura), la expectativa del número de pintura para pintar todos los cuadrados de negro, es $T(n)$ . Encuentra la fórmula explícita de $T(n)$ .