Encontrar todas las funciones $f:[1,\infty )\rightarrow [1,\infty)$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n(1) $f(x)\le 2(x+1)$ ;\n(2) $f(x+1)=\dfrac{1}{x}[(f(x))^2-1]$ .

Hay $m$ dulces guardados en $n$ bandejas ( $n,m\ge 4$). Se define una operación como sigue: sacar un dulce de dos bandejas cualesquiera respectivamente, luego colocarlos en una tercera bandeja. Determinar, con demostración, si podemos mover todos los dulces a una sola bandeja mediante un número finito de operaciones.

Sean $ABCD$ un trapecio con $AB\parallel CD$. Los puntos $E,F$ se encuentran en los segmentos $AB,CD$ respectivamente. Los segmentos $CE,BF$ se intersecan en $H$, y los segmentos $ED,AF$ se intersecan en $G$. Demostrar que $S_{EHFG}\le \dfrac{1}{4}S_{ABCD}$. Determinar, con demostración, si la conclusión sigue siendo válida cuando $ABCD$ es simplemente un cuadrilátero convexo.

Sea $n$ un entero positivo, y sea $S$ el conjunto de todos los enteros en $\{1,2,\dots,n\}$ que son relativamente primos con $n$ . Sea $S_1 = S \cap \left(0, \frac n3 \right]$ , $S_2 = S \cap \left( \frac n3, \frac {2n}3 \right]$ , $S_3 = S \cap \left( \frac{2n}{3}, n \right]$ . Si la cardinalidad de $S$ es un múltiplo de $3$ , pruebe que $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ tienen la misma cardinalidad.

Dado un conjunto finito no vacío $X$ con valores reales, sea $f(X) = \frac{1}{|X|} \displaystyle\sum\limits_{a\in X} a$ , donde $\left\lvert X \right\rvert$ denota la cardinalidad de $X$ . Para pares ordenados de conjuntos $(A,B)$ tales que $A\cup B = \{1, 2, \dots , 100\}$ y $A\cap B = \emptyset$ donde $1\leq |A| \leq 98$ , seleccione algún $p\in B$ , y sea $A_{p} = A\cup \{p\}$ y $B_{p} = B - \{p\}.$ Sobre todos esos $(A,B)$ y $p\in B$ determine el máximo valor posible de $(f(A_{p})-f(A))(f(B_{p})-f(B)).$

En el triángulo acutángulo $ABC$ , $AB > AC$ . $D$ y $E$ son los puntos medios de $AB$ , $AC$ respectivamente. La circunferencia circunscrita de $ADE$ intersecta la circunferencia circunscrita de $BCE$ de nuevo en $P$ . La circunferencia circunscrita de $ADE$ intersecta la circunferencia circunscrita $BCD$ de nuevo en $Q$ . Pruebe que $AP = AQ$ .

Sea $a$ un entero positivo, pero no un cuadrado perfecto; $r$ es una raíz real de la ecuación $x^3-2ax+1=0$ . Pruebe que $ r+\sqrt{a}$ es un número irracional.

Para un entero $m\geq 4,$ sea $T_{m}$ denota el número de secuencias $a_{1},\dots,a_{m}$ tales que se cumplen las siguientes condiciones: (1) Para todo $i=1,2,\dots,m$ tenemos $a_{i}\in \{1,2,3,4\}$ (2) $a_{1} = a_{m} = 1$ y $a_{2}\neq 1$ (3) Para todo $i=3,4\cdots, m, a_{i}\neq a_{i-1}, a_{i}\neq a_{i-2}.$ Pruebe que existe una secuencia geométrica de enteros positivos $\{g_{n}\}$ tal que para $n\geq 4$ tenemos que \[ g_{n} - 2\sqrt{g_{n}} < T_{n} < g_{n} + 2\sqrt{g_{n}}.\]

Hay $ n$ estudiantes; cada estudiante conoce exactamente $d $ chicas estudiantes y $d $ chicos estudiantes ('conocer' es una relación simétrica). Encuentra todos los pares $ (n,d) $ de enteros .

Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n $ números reales, donde $n\ge 2$ es un entero dado, y sean $\lfloor{x_1}\rfloor,\lfloor{x_2}\rfloor,\ldots,\lfloor{x_n}\rfloor $ una permutación de $1,2,\ldots,n$ . Encuentre el máximo y el mínimo de $\sum\limits_{i=1}^{n-1}\lfloor{x_{i+1}-x_i}\rfloor$ (aquí $\lfloor x\rfloor $ es el mayor entero no mayor que $x$ ).