Como se muestra en la figura , en el pentágono $ABCDE$ , $BC = DE$ , $CD \parallel BE$ , $AB>AE$ . Si $\angle BAC = \angle DAE$ y $\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{ED}$ . Demuestra que $AC$ biseca el segmento de línea $BE$ .

Demuestra que $$(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3^2})\cdots(1+\frac{1}{3^n})< 2.$$

Sea $\{a_n\}$ la secuencia con $a_0=0$ , $a_n=\frac{1}{a_{n-1}-2}$ ( $n\in N_+$ ) . Selecciona un término arbitrario $a_k$ en la secuencia $\{a_n\}$ y construye la secuencia $\{b_n\}$ : $b_0=a_k$ , $b_n=\frac{2b_{n-1}+1} {b_{n-1}}$ ( $n\in N_+$ ) . Determina si la secuencia $\{b_n\}$ es una secuencia finita o una secuencia infinita y da una prueba.

Hay $n$ ( $n \ge 4$ ) líneas rectas en el plano. Para dos líneas rectas $a$ y $b$ , si hay al menos dos líneas rectas entre las $n-2$ líneas restantes que intersecan ambas líneas rectas $a$ y $b$ , entonces $a$ y $b$ se denominan un par congruente de líneas rectas, de lo contrario se denomina un par separado de líneas rectas. Si el número de pares congruentes de líneas rectas entre $n$ líneas rectas es $2012$ más que el número de pares separados de líneas rectas, halla el menor valor posible de $n$ (el orden de las dos líneas rectas en un par no se cuenta).

Supón que $S= \{x|x=a^2+ab+b^2,a,b \in Z\}$ . Demuestra que: \n(1) Si $m \in S$ , $3|m$ , entonces $\frac{m}{3} \in S$ \n(2) Si $m,n \in S$ , entonces $mn\in S$ .

Los enteros positivos $x_1,x_2,...,x_n$ ( $n \in N_+$ ) satisfacen $x_1^2 +x_2^2+...+x_n^2=111$ , halla el máximo valor posible de $S =\frac{x_1 +x_2+...+x_n}{n}$ .

Como se muestra en la figura, dado el $\vartriangle ABC$ rectángulo con $\angle C=90^o$ . $I$ es el incentro. La línea $BI$ interseca el segmento $AC$ en el punto $D$ . La línea que pasa por $D$ paralela a $AI$ interseca a $BC$ en el punto $E$ . La línea $EI$ interseca el segmento $AB$ en el punto $F$ . Demuestra que $DF \perp AI$ .

Sea $M$ un punto que tiene coordenadas $(p\times 1994,7p\times 1994)$ en el plano cartesiano ( $p$ es un primo). Encontrar el número de triángulos rectángulos que satisfacen las siguientes condiciones:\n(1) todos los vértices del triángulo son puntos reticulares, además $M$ está en la esquina en ángulo recto del triángulo;\n(2) el origen ( $0,0$) es el incentro del triángulo.

Para un número natural arbitrario $n$, demostrar que $\sum^n_{k=0}C^k_n2^kC^{[(n-k)/2]}_{n-k}=C^n_{2n+1}$, donde $C^0_0=1$ y $[\dfrac{n-k}{2}]$ denota la parte entera de $\dfrac{n-k}{2}$.

Sea $f(z)=c_0z^n+c_1z^{n-1}+ c_2z^{n-2}+\cdots +c_{n-1}z+c_n$ un polinomio con coeficientes complejos. Demostrar que existe un número complejo $z_0$ tal que $|f(z_0)|\ge |c_0|+|c_n|$, donde $|z_0|\le 1$.