18 Considere 2 circunferencias concéntricas de radios $ R$ y $ r$ ( $ R > r$ ) con centro $ O.$ Fije $ P$ sobre la circunferencia pequeña y considere la cuerda variable $ PA$ de la circunferencia pequeña. Los puntos $ B$ y $ C$ están sobre la circunferencia grande; $ B,P,C$ son colineales y $ BC$ es perpendicular a $ AP.$ i.) ¿Para qué valores de $ \angle OPA$ es extremal la suma $ BC^2 + CA^2 + AB^2$ ? ii.) ¿Cuáles son las posiciones posibles de los puntos medios $ U$ de $ BA$ y $ V$ de $ AC$ cuando $ \angle OPA$ varía?

19 Sea $ f(n)$ una función definida sobre el conjunto de todos los enteros positivos y con valores en el mismo conjunto. Suponga que $ f(f(n) + f(m)) = m + n$ para todos los enteros positivos $ n,m.$ Halle el valor posible de $ f(1988).$

A6 $\boxed{A6}$ La sucesión $a_0,a_1,...$ está definida por las condiciones iniciales $a_0=1,a_1=6$ y la recursión $a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}+2$ para $n>1.$ Demuestra que $a_{2^k-1}$ tiene al menos tres factores primos para todo entero positivo $k>3.$ Orkhan-Ashraf_2002

21 Cuarenta y nueve estudiantes resuelven un conjunto de 3 problemas. La puntuación de cada problema es un número entero de puntos de 0 a 7. Demuestre que existen dos estudiantes $ A$ y $ B$ tales que, para cada problema, $ A$ obtenga al menos tantos puntos como $ B.$

22 Sea $ p$ el producto de dos enteros consecutivos mayores que 2. Muestre que no hay enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_p$ que satisfagan la ecuación \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1 \] O Muestre que solo hay dos valores de $ p$ para los cuales existen enteros $ x_1, x_2, \ldots, x_p$ que satisfacen \[ \sum^p_{i = 1} x^2_i - \frac {4}{4 \cdot p + 1} \left( \sum^p_{i = 1} x_i \right)^2 = 1 \]

23 Sea $ Q$ el centro de la circunferencia inscrita de un triángulo $ ABC.$ Demuestre que para cualquier punto $ P,$ \[ a(PA)^2 + b(PB)^2 + c(PC)^2 = a(QA)^2 + b(QB)^2 + c(QC)^2 + (a + b + c)(QP)^2, \] donde $ a = BC, b = CA$ y $ c = AB.$

24 Sea $ \{a_k\}^{\infty}_1$ una sucesión de números reales no negativos tal que: \[ a_k - 2 a_{k + 1} + a_{k + 2} \geq 0 \] y $ \sum^k_{j = 1} a_j \leq 1$ para todo $ k = 1,2, \ldots$ . Demuestre que: \[ 0 \leq a_{k} - a_{k + 1} < \frac {2}{k^2} \] para todo $ k = 1,2, \ldots$ .

C1 La Olimpiada Internacional de Matemáticas se organiza en Japón, donde una creencia popular dice que el número $4$ trae mala suerte. La ceremonia de apertura se lleva a cabo en el Gran Teatro, donde cada fila tiene capacidad para $55$ asientos. ¿Cuál es el número máximo de concursantes que pueden sentarse en una sola fila con la restricción de que no haya dos de ellos separados por $4$ asientos (para así evitar la mala suerte durante la competencia)?

25 Un entero positivo se llama número doble si su representación decimal consiste en un bloque de dígitos, que no comienza con 0, seguido inmediatamente por un bloque idéntico. Así, por ejemplo, 360360 es un número doble, pero 36036 no lo es. Muestre que hay infinitos números dobles que son cuadrados perfectos.

75 Encuentra la suma de las potencias quincuagésimas de todos los lados y diagonales de un $100$ -ágono regular inscrito en un círculo de radio $R.$ Amir