Hay $8$ cartas en las que los números $1$, $2$, $\dots$, $8$ están escritos respectivamente. Alice y Bob juegan el siguiente juego: en cada turno, Alice le da dos cartas a Bob, quien debe quedarse con una carta y descartar la otra. El juego continúa durante cuatro turnos en total; en los dos primeros turnos, Bob no puede quedarse con ambas cartas con los números más grandes, y en los dos últimos turnos, Bob tampoco puede quedarse con ambas cartas con los números más grandes. Sea $S$ la suma de los números escritos en las cartas que Bob conserva. Encuentra el mayor entero positivo $N$ para el cual Bob puede garantizar que $S$ sea al menos $N$.

Sea $\{a_n\}$ una secuencia definida por $a_1=0$ y $$a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\sum_{k=1}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}a_k$$ para cualquier entero positivo $n$. Encuentra el término máximo de esta secuencia.

Para cualquier entero dado $m,n$ tal que $2\leq m<n$ y $(m,n)=1$ . Determinar el entero positivo más pequeño $k$ que satisface la siguiente condición: para cualquier subconjunto $I$ de $m$ elementos de $\{1,2,\cdots,n\}$ si $\sum_{i\in I}i> k$ , entonces existe una secuencia de $n$ números reales $a_1\leq a_2 \leq \cdots \leq a_n$ tal que $$\frac1m\sum_{i\in I} a_i>\frac1n\sum_{i=1}^na_i$$

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico, y $\angle BAC = \angle DAC$ . $\astrosun I_1$ y $\astrosun I_2$ son los incírculos de $\triangle ABD$ y $\triangle ADC$ respectivamente. Demostrar que una de las tangentes externas comunes de $\astrosun I_1$ y $\astrosun I_2$ es paralela a $BD$

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales no negativos , $S_k= \sum\limits_{i=1}^{k}a_i $ $(1\le k\le n)$ . Demostrar que $$\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\sum\limits_{j=i}^{n}a^2_j\right)\le \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\right)^2$$

Demostrar que existen infinitos triples de enteros positivos $(a,b,c)$ tales que $a ,b,c$ son primos relativos por pares ,y $ab+c ,bc+a ,ca+b$ son primos relativos por pares .

Para una $n$ - tupla de enteros, defina una transformación como: $$(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n)\rightarrow (a_1+a_2, a_2+a_3, \cdots, a_{n-1}+a_n, a_n+a_1)$$ Encontrar todos los pares ordenados de enteros $(n,k)$ con $n,k\geq 2$ , tal que para cualquier $n$ - tupla de enteros $(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1},a_n)$ , después de un número finito de transformaciones, cada elemento de la $n$ - tupla es un múltiplo de $k$ .

Sean $n$ y $k$ enteros con $k\leq n-2$ . El valor absoluto de la suma de los elementos de cualquier subconjunto de $k$ elementos de $\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}$ es menor o igual a 1. Demostrar que: Si $|a_1|\geq1$ , entonces para cualquier $2\leq i \leq n$ , tenemos: $$|a_1|+|a_i|\leq2$$

Sean $\astrosun O_1$ y $\astrosun O_2$ que se intersecan en $P$ y $Q$ , su tangente externa común toca a $\astrosun O_1$ y $\astrosun O_2$ en $A$ y $B$ respectivamente. Un círculo $\Gamma$ que pasa por $A$ y $B$ interseca a $\astrosun O_1$ , $\astrosun O_2$ en $D$ , $C$ . Demostrar que $\displaystyle \frac{CP}{CQ}=\frac{DP}{DQ}$

Sean $a,b,c,d$ números reales tales que $abcd>0$ . Demostrar que: Existe una permutación $x,y,z,w$ de $a,b,c,d$ tal que $$2(xy+zw)^2>(x^2+y^2)(z^2+w^2)$$.