Encuentre todas las funciones $f:(1,+\infty) \rightarrow (1,+\infty)$ que satisfacen la siguiente condición: para arbitrarios $x,y>1$ y $u,v>0$ , la desigualdad $f(x^uy^v)\le f(x)^{\dfrac{1}{4u}}f(y)^{\dfrac{1}{4v}}$ se cumple.

Dados $1989$ puntos en el espacio, tres cualesquiera de ellos no son colineales. Dividimos estos puntos en $30$ grupos tales que los números de puntos en estos grupos son diferentes entre sí. Considere aquellos triángulos cuyos vértices son puntos que pertenecen a tres grupos diferentes entre los $30$ . Determine el número de puntos de cada grupo tal que el número de tales triángulos alcance un máximo.

Dado un triángulo $ABC$ , los puntos $D,E,F$ se encuentran en los lados $BC,CA,AB$ respectivamente. Además, los radios de las circunferencias inscritas de $\triangle AEF, \triangle BFD, \triangle CDE$ son iguales a $r$ . Denote por $r_0$ y $R$ los radios de las circunferencias inscritas de $\triangle DEF$ y $\triangle ABC$ respectivamente. Pruebe que $r+r_0=R$ .

Sea $S$ el círculo unitario en el plano complejo (es decir, el conjunto de todos los números complejos con sus módulos iguales a $1$ ) . Definimos la función $f:S\rightarrow S$ como sigue: $\forall z\in S$ , $ f^{(1)}(z)=f(z), f^{(2)}(z)=f(f(z)), \dots,$ $f^{(k)}(z)=f(f^{(k-1)}(z)) (k>1,k\in \mathbb{N}), \dots$ Llamamos a $c$ un punto de $n$ - período de $f$ si $c$ ( $c\in S$ ) y $n$ ( $n\in\mathbb{N}$ ) satisfacen: $f^{(1)}(c) \not=c, f^{(2)}(c) \not=c, f^{(3)}(c) \not=c, \dots, f^{(n-1)}(c) \not=c, f^{(n)}(c)=c$ . Suponga que $f(z)=z^m$ ( $z\in S; m>1, m\in \mathbb{N}$ ) , encuentre el número de puntos de $1989$ - período de $f$ .

Sean $x_1, x_2, \dots ,x_n$ ( $n\ge 2$ ) números reales positivos que satisfacen $\sum^{n}_{i=1}x_i=1$ . Pruebe que: \[\sum^{n}_{i=1}\dfrac{x_i}{\sqrt{1-x_i}}\ge \dfrac{\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_i}}{\sqrt{n-1}}.\]

Dado dos conjuntos de puntos $A$ y $B$ que están compuestos por arcos disjuntos finitos en el círculo unitario. Además, la longitud de cada arco en $B$ es igual a $\dfrac{\pi}{m}$ ( $m \in \mathbb{N}$ ) . Denotamos por $A^j$ el conjunto obtenido por una rotación antihoraria de $A$ alrededor del centro del círculo unitario por $\dfrac{j\pi}{m}$ ( $j=1,2,3,\dots$ ) . Demuestre que existe un número natural $k$ tal que $l(A^k\cap B)\ge \dfrac{1}{2\pi}l(A)l(B)$ . (Aquí $l(X)$ denota la suma de las longitudes de todos los arcos disjuntos en el conjunto de puntos $X$ )

Dado un entero positivo $n \geq 2$ . Sean $a_{ij}$ $(1 \leq i,j \leq n)$ $n^2$ reales no negativos y su suma es $1$ . Para $1\leq i \leq n$ , define $R_i=max_{1\leq k \leq n}(a_{ik})$ . Para $1\leq j \leq n$ , define $C_j=min_{1\leq k \leq n}(a_{kj})$ Encuentra el valor máximo de $C_1C_2 \cdots C_n(R_1+R_2+ \cdots +R_n)$

Sean $a,b,c,d$ cuatro enteros positivos tales que $a>b>c>d$ . Dado que $ab+bc+ca+d^2|(a+b)(b+c)(c+a)$ . Encuentra el valor mínimo de $ \Omega (ab+bc+ca+d^2)$ . Aquí $ \Omega(n)$ denota el número de factores primos que tiene $n$ . Por ejemplo, $\Omega(12)=3$

Alice y Bob ahora realizan un espectáculo de magia. Hay $101 $ sombreros diferentes sobre la mesa y forman un círculo. Primero, Bob elige un entero positivo $n$ (Alice no lo sabe). Luego Bob pone un conejo debajo de uno de los sombreros y Alice no sabe qué sombrero contiene el conejo. Cada vez, ella puede elegir un sombrero y ver si el conejo está debajo del sombrero. Si no, entonces Bob moverá el conejo desde el sombrero actual al sombrero número $n$ en el sentido de las agujas del reloj. Repetirán estos pasos hasta que Alice encuentre el conejo. Demuestra que Alice puede encontrar el conejo en $201$ pasos.

Dado un hexágono $ \mathcal{P}$ inscrito en un cuadrado unitario, tal que cada vértice está en el lado del cuadrado. Se sabe que todos los ángulos interiores del hexágono son iguales. Encuentra el valor máximo posible de la longitud del lado más pequeño de $\mathcal{P}$ .