Hay $8$ cartas en las que los números $1$, $2$, $\dots$, $8$ están escritos respectivamente. Alice y Bob juegan el siguiente juego: en cada turno, Alice le da dos cartas a Bob, quien debe quedarse con una carta y descartar la otra. El juego continúa durante cuatro turnos en total; en los dos primeros turnos, Bob no puede quedarse con ambas cartas con los números más grandes, y en los dos últimos turnos, Bob tampoco puede quedarse con ambas cartas con los números más grandes. Sea $S$ la suma de los números escritos en las cartas que Bob conserva. Encuentra el mayor entero positivo $N$ para el cual Bob puede garantizar que $S$ sea al menos $N$.