La secuencia $(a_n)$ se define por $a_1=1,a_2=\frac{1}{2}$ , $$n(n+1)\na_{n+1}a_{n}+na_{n}a_{n-1}=(n+1)^2a_{n+1}a_{n-1}(n\ge 2).$$ Demuestra que $$\frac{2}{n+1}<\sqrt[n]{a_n}<\frac{1}{\sqrt{n}}(n\ge 3).$$

Suponga que cada punto en el plano está coloreado de blanco o negro. Demuestre que existe un triángulo equilátero con la longitud del lado igual a $1$ o $\sqrt{3}$ cuyos tres vértices son del mismo color.

Dada una secuencia $1,1,2,2,3,3,\ldots,1986,1986$ , determine, con prueba, si podemos reorganizar la secuencia de manera que para cualquier entero $1\le k \le 1986$ haya exactamente $k$ números entre los dos ' $k$ ' s.

Dado un $\triangle ABC$ con su área igual a $1$ , suponga que los vértices del cuadrilátero $P_1P_2P_3P_4$ se encuentran todos en los lados de $\triangle ABC$ . Demuestre que entre los cuatro triángulos $\triangle P_1P_2P_3, \triangle P_1P_2P_4, \triangle P_1P_3P_4, \triangle P_2P_3P_4$ hay al menos uno cuya área no es mayor que $1/4$ .

Sean $Z_1,Z_2,\cdots ,Z_n$ números complejos que satisfacen $|Z_1|+|Z_2|+\cdots +|Z_n|=1$ . Demuestre que existen algunos entre los $n$ números complejos tales que el módulo de la suma de estos números complejos no es menor que $1/6$ .

En $\triangle ABC$ , la longitud de la altitud $AD$ es $12$ , y la bisectriz $AE$ de $\angle A$ es $13$ . Denotemos por $m$ la longitud de la mediana $AF$ . Encuentre el rango de $m$ cuando $\angle A$ es agudo, ortogonal y obtuso respectivamente.

Dados $n$ reales $a_1,a_2,\cdots , a_n$ tal que la suma de cualesquiera dos de ellos es no negativa. Demuestre que la siguiente afirmación y su recíproca son ambas verdaderas: si $n$ reales no negativos $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ satisfacen $x_1+x_2+\cdots +x_n=1$ , entonces la desigualdad $a_1x_1+a_2x_2+\cdots +a_nx_n\ge a_1x^2_1+ a_2x^2_2+\cdots + a_nx^2_n$ se cumple.

Sea $n$ un entero positivo. Denote $M = \{(x, y)|x, y \text{ son enteros }, 1 \leq x, y \leq n\} $. Define la función $f$ en $M$ con las siguientes propiedades: a.) $f(x, y)$ toma un valor entero no negativo; b.) $\sum^n_{y=1} f(x, y) = n - 1$ para $1 \eq x \leq n$ ; c.) Si $f(x_1, y_1)f(x2, y2) > 0$ , entonces $(x_1 - x_2)(y_1 - y_2) \geq 0.$ Encuentre $N(n)$ , el número de funciones $f$ que satisfacen todas las condiciones. Dé el valor explícito de $N(4)$ .

a.) Sean $a,b$ números reales. Defina la secuencia $x_k$ e $y_k$ tal que \[x_0 = 1, y_0 = 0, x_{k+1} = a \cdot x_k - b \cdot y_l, \quad y_{k+1} = x_k - a \cdot y_k \text{ para } k = 0,1,2, \ldots \] Demuestra que \[x_k = \sum^{[k/2]}_{l=0} (-1)^l \cdot a^{k - 2 \cdot l} \cdot \left(a^2 + b \right)^l \cdot \lambda_{k,l}\] donde $\lambda_{k,l} = \sum^{[k/2]}_{m=l} \binom{k}{2 \cdot m} \cdot \binom{m}{l}$ b.) Sea $u_k = \sum^{[k/2]}_{l=0} \lambda_{k,l} $. Para un entero positivo $m,$ denote el resto de $u_k$ dividido por $2^m$ como $z_{m,k} $. Demuestra que $z_{m,k},$ $k = 0,1,2, \ldots$ es una función periódica, y encuentre el período más pequeño.

Sea $F$ el conjunto de todos los polinomios $\Gamma$ tales que todos los coeficientes de $\Gamma (x)$ son enteros y $\Gamma (x) = 1$ tiene raíces enteras. Dado un entero positivo $k$, encuentre el entero más pequeño $m(k) > 1$ tal que existe $\Gamma \in F$ para el cual $\Gamma (x) = m(k)$ tiene exactamente $k$ raíces enteras distintas.