a.) Sean $a,b$ números reales. Defina la secuencia $x_k$ e $y_k$ tal que \[x_0 = 1, y_0 = 0, x_{k+1} = a \cdot x_k - b \cdot y_l, \quad y_{k+1} = x_k - a \cdot y_k \text{ para } k = 0,1,2, \ldots \] Demuestra que \[x_k = \sum^{[k/2]}_{l=0} (-1)^l \cdot a^{k - 2 \cdot l} \cdot \left(a^2 + b \right)^l \cdot \lambda_{k,l}\] donde $\lambda_{k,l} = \sum^{[k/2]}_{m=l} \binom{k}{2 \cdot m} \cdot \binom{m}{l}$ b.) Sea $u_k = \sum^{[k/2]}_{l=0} \lambda_{k,l} $. Para un entero positivo $m,$ denote el resto de $u_k$ dividido por $2^m$ como $z_{m,k} $. Demuestra que $z_{m,k},$ $k = 0,1,2, \ldots$ es una función periódica, y encuentre el período más pequeño.