Para un entero positivo $a \geq 2$, denote $N_a$ como el número de enteros positivos $k$ con la siguiente propiedad: la suma de los cuadrados de los dígitos de $k$ en base a representación es igual a $k$. Pruebe que: a.) $N_a$ es impar; b.) Para cada entero positivo $M$, existe un entero positivo $a \geq 2$ tal que $N_a \geq M$.

Dados enteros positivos $k, m, n$ tales que $1 \leq k \leq m \leq n$. Evaluar \[\sum^{n}_{i=0} \frac{(-1)^i}{n+k+i} \cdot \frac{(m+n+i)!}{i!(n-i)!(m+i)!}.\]

Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB = AC$. Sean $D,E$ puntos en $AB,AC$ respectivamente tales que $DE = AC$. Sea $DE$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $T$. Sea $P$ un punto en $AT$. Demuestra que $PD + PE = AT$ si y solo si $P$ está en la circunferencia circunscrita del triángulo $ADE$.

Sea $ n$ un entero positivo, y $ S_n,$ sea el conjunto de todos los divisores enteros positivos de $ n$ (incluidos 1 y él mismo). Demostrar que como máximo la mitad de los elementos en $ S_n$ tienen sus últimos dígitos iguales a 3.

Sean los lados de un triángulo escaleno $ \triangle ABC$ sean $ AB = c,$ $ BC = a,$ $ CA =b,$ y $ D, E , F$ sean puntos en $ BC, CA, AB$ tal que $ AD, BE, CF$ son bisectrices angulares del triángulo, respectivamente. Asuma que $ DE = DF.$ Demostrar que (1) $ \frac{a}{b+c} = \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b}$ (2) $ \angle BAC > 90^{\circ}.$

Sea $ n \geq 2$ un entero. Encontrar el número real más grande $ \lambda$ tal que la desigualdad $ a^2_n \geq \lambda \sum^{n-1}_{i=1} a_i + 2 \cdot a_n.$ se cumple para cualquier entero positivo $ a_1, a_2, \ldots a_n$ que satisfaga $ a_1 < a_2 < \ldots < a_n.$

Sea $ \{a_n\}^{\infty}_1$ una secuencia de números reales tal que $ a_1 = 2,$ y $ a_{n+1} = a^2_n - a_n + 1, \forall n \in \mathbb{N}.$ Demostrar que $ 1 - \frac{1}{2003^{2003}} < \sum^{2003}_{i=1} \frac{1}{a_i} < 1.$

(1) Demostrar que existen cinco números reales no negativos $ a, b, c, d$ y $ e$ con su suma igual a 1 tal que para cualquier disposición de estos números alrededor de un círculo, siempre hay dos números vecinos con su producto no menor que $ \frac{1}{9}.$ (2) Demostrar que para cualquier cinco números reales no negativos con su suma igual a 1 , siempre es posible organizarlos alrededor de un círculo de tal manera que haya dos números vecinos con su producto no mayor que $ \frac{1}{9}.$

Como se muestra en la figura, el cuadrilátero $ ABCD$ está inscrito en un círculo con $ AC$ como su diámetro, $ BD \perp AC,$ y $ E$ la intersección de $ AC$ y $ BD.$ Extienda el segmento de línea $ DA$ y $ BA$ a través de $ A$ a $ F$ y $ G$ respectivamente, tal que $ DG || BF.$ Extienda $ GF$ a $ H$ tal que $ CH \perp GH.$ Demostrar que los puntos $ B, E, F$ y $ H$ se encuentran en un círculo.

Hay 47 estudiantes en un aula con asientos dispuestos en 6 filas $ \times$ 8 columnas, y el asiento en la fila $ i$ - ésima y la columna $ j$ - ésima se denota por $ (i,j).$ Ahora, se hace un ajuste para los asientos de los estudiantes en el nuevo período escolar. Para un estudiante con el asiento original $ (i,j),$ si su nuevo asiento es $ (m,n),$ decimos que el estudiante se mueve por $ [a, b] = [i - m, j - n]$ y definimos el valor de posición del estudiante como $ a+b.$ Sea $ S$ la suma de los valores de posición de todos los estudiantes. Determinar la diferencia entre los valores posibles mayor y menor de $ S.$