Sea una constante $\alpha$ como $0<\alpha<1$ , demuestre que: $(1)$ Existe una constante $C(\alpha)$ que solo depende de $\alpha$ tal que para todo $x\ge 0$ , $\ln(1+x)\le C(\alpha)x^\alpha$ . $(2)$ Para cada dos números complejos $z_1,z_2$ , $|\ln|\frac{z_1}{z_2}||\le C(\alpha)\left(|\frac{z_1-z_2}{z_2}|^\alpha+|\frac{z_2-z_1}{z_1}|^\alpha\right)$ .

Un profesor suplente lleva a un grupo de estudiantes a un viaje. El profesor a cargo del grupo de estudiantes le dijo al profesor suplente que hay dos estudiantes que siempre mienten, y los demás siempre dicen la verdad. Pero el profesor suplente no sabe quiénes son los dos estudiantes que siempre mienten. Se pierden en un bosque. Finalmente se encuentran en una encrucijada que tiene cuatro caminos. El profesor suplente sabe que su campamento está en un camino, y la distancia es de $20$ minutos a pie. Los estudiantes tienen que ir al campamento antes de que oscurezca. $(1)$ Si hay $8$ estudiantes, y $60$ minutos antes de que oscurezca, da un plan para que todos los estudiantes puedan regresar al campamento. $(2)$ Si hay $4$ estudiantes, y $100$ minutos antes de que oscurezca, ¿hay un plan para que todos los estudiantes puedan regresar al campamento?

Sean $n$ un entero positivo, $x_1,x_2,\cdots,x_n$ números reales positivos tales que $x_1x_2\cdots x_n=1 $ . Demuestra que $$\sum\limits_{i = 1}^{n}x_i\sqrt{x^2_1+x^2_2+\cdots x^2_i}\ge\frac{n+1}{2}\sqrt{n}$$

Sea $\{ a_n\}$ una serie que consiste en enteros positivos tales que $n^2 \mid \sum_{i=1}^{n}{a_i}$ y $a_n\leq (n+2016)^2$ para todo $n\geq 2016$ . Define $b_n=a_{n+1}-a_n$ . Demuestra que la serie $\{ b_n\}$ es eventualmente constante.

$I$ es el incentro de $\triangle{ABC}$ . El incírculo toca a $BC,CA,AB$ en $D,E,F$ , respectivamente . Sean $M,N,K=BI,CI,DI \cap EF$ respectivamente y $BN\cap CM=P,AK\cap BC=G$ . El punto $Q$ es la intersección de la línea perpendicular a $PG$ que pasa por $I$ y la línea perpendicular a $PB$ que pasa por $P$ . Demuestra que $BI$ biseca el segmento $PQ$ .

Lanza la moneda $n$ veces, asume que cada vez, solo aparece cara o cruz Sea $a(n)$ denota el número de formas en que la cara aparece en un múltiplo de $3$ veces entre $n$ veces Sea $b(n)$ denota el número de formas en que la cara aparece en un múltiplo de $6$ veces entre $n$ veces $(1)$ Encuentra $a(2016)$ y $b(2016)$ $(2)$ Encuentra el número de enteros positivos $n\leq 2016$ tal que $2b(n)-a(n)\geq 0$

Sea $n$ un entero positivo, $D_n$ es un conjunto de todos los divisores positivos de $n$ y $f(n)=\sum_{d\in D_n}{\frac{1}{1+d}}$ Demuestra que para todo entero positivo $m$ , $\sum_{i=1}^{m}{f(i)} <m$

Para cuatro puntos cualesquiera en un plano, si las áreas de los cuatro triángulos formados son enteros positivos diferentes y las seis distancias entre esos cuatro puntos son también seis enteros positivos diferentes, entonces la clausura convexa de $4$ puntos se llama 'diseño de loto'. (1) Construye un ejemplo de 'diseño de loto'. Además, ¿cuáles son las áreas y las distancias en tu ejemplo? (2) Demuestra que hay infinitos 'diseños de loto' que no son similares.

Dado cualquier entero $n\geq 3$ . Una serie finita se llama serie $n$ si satisface las siguientes dos condiciones $1)$ Tiene al menos $3$ términos y cada término pertenece a $\{ 1,2,...,n\}$ $2)$ Si la serie tiene $m$ términos $a_1,a_2,...,a_m$ entonces $(a_{k+1}-a_k)(a_{k+2}-a_k)<0$ para todo $k=1,2,...,m-2$ ¿Cuántas series $n$ hay $?$

Supongamos que $PAB$ y $PCD$ son dos secantes del círculo $O$ . Las líneas $AD \cap BC=Q$ . El punto $T$ se encuentra en el segmento $BQ$ y el punto $K$ es la intersección del segmento $PT$ con el círculo $O$ , $S=QK\cap PA$ Dado que $ST \parallel PQ$ , demuestra que $B,S,K,T$ se encuentran en un círculo.