Sean $a_1,a_2 \dots a_n$ y $x_1, x_2 \dots x_n$ enteros y $r\geq 2$ un entero. Se sabe que $$\sum_{j=0}^{n} a_j x_j^k =0 \qquad \text{para} \quad k=1,2, \dots r.$$ Pruebe que $$\sum_{j=0}^{n} a_j x_j^m \equiv 0 \pmod m, \qquad \text{para todos}\quad m \in \{ r+1, r+2, \cdots, 2r+1 \}.$$

Sean $a$, $b$, $c$ números reales no negativos tales que $ab+bc+ca = \frac{1}{3}$. Pruebe que $$\frac{1}{a^{2}-bc+1}+\frac{1}{b^{2}-ca+1}+\frac{1}{c^{2}-ab+1}\leq 3 $$

El punto $P$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$. Sean las proyecciones de $P$ sobre los lados $BC$, $CA$, $AB$ ser $D$, $E$, $F$ respectivamente. Sean las proyecciones de $A$ a las líneas $BP$ y $CP$ ser $M$ y $N$ respectivamente. Demuestre que $ME$, $NF$ y $BC$ son concurrentes.

Sea $\alpha$ un número real positivo dado, encuentre todas las funciones $f: N^{+} \rightarrow R$ tales que $f(k + m) = f(k) + f(m)$ se cumple para cualquier entero positivo $k$, $m$ que satisfaga $\alpha m \leq k \leq (\alpha + 1)m$.

Sea $n$ un entero positivo, y $x$ un número real positivo. Demuestre que $$\sum_{k=1}^{n} \left( x \left[\frac{k}{x}\right] - (x+1)\left[\frac{k}{x+1}\right]\right) \leq n,$$ donde $[x]$ denota el entero más grande que no excede a $x$.

Sean $a_{1}$, $a_{2}$, …, $a_{6}$ ; $b_{1}$, $b_{2}$, …, $b_{6}$ y $c_{1}$, $c_{2}$, …, $c_{6}$ todas permutaciones de $1$, $2$, …, $6$, respectivamente. Encuentre el valor mínimo de $\sum_{i=1}^{6}a_{i}b_{i}c_{i}$.

Sea $n$ un entero positivo, y $a_j$, para $j=1,2,\ldots,n$ son números complejos. Suponga que $I$ es un subconjunto no vacío arbitrario de $\{1,2,\ldots,n\}$, la desigualdad $\left|-1+ \prod_{j\in I} (1+a_j) \right| \leq \frac 12$ siempre se cumple. Demuestre que $\sum_{j=1}^n |a_j| \leq 3$.

Dado un entero positivo $n (n \geq 2)$, encuentre el entero positivo más grande $\lambda$ que satisface: Para $n$ bolsas, si cada bolsa contiene algunas bolas cuyos pesos son todas potencias enteras de $2$ (los pesos de las bolas en una bolsa pueden no ser distintos), y los pesos totales de las bolas en cada bolsa son iguales, entonces existe un peso entre estas bolas tal que el número total de bolas con este peso es al menos $\lambda$.

Cuadrilátero convexo $ABCD$ es cíclico en el círculo $(O)$, $P$ es la intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. El círculo $(O_{1})$ pasa por $P$ y $B$, el círculo $(O_{2})$ pasa por $P$ y $A$, Los círculos $(O_{1})$ y $(O_{2})$ se intersecan en $P$ y $Q$. $(O_{1})$, $(O_{2})$ intersecan a $(O)$ en otros puntos $E$, $F$ (además de $B$, $A$), respectivamente. Pruebe que $PQ$, $CE$, $DF$ son concurrentes o paralelos.

Como se muestra en la figura, en el cuadrilátero $ABCD$ , $AB\perp BC$ , $AD\perp CD$ , sea $E$ un punto en la línea $BD$ tal que $EC = CA$ . La línea perpendicular en la línea $AC$ que pasa por $E$ , interseca la línea $AB$ en el punto $F$ , y la línea $AD$ en el punto $G$ . Sean $X$ e $Y$ los puntos medios de los segmentos de línea $AF$ y $AG$ respectivamente. Sean $Z$ y $W$ los puntos medios de los segmentos de línea $BE$ y $DE$ respectivamente. Demuestra que la circunferencia circunscrita de $\vartriangle WBX$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle ZDY$ .