Encuentre todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que la desigualdad: $$ [ (m+n) \alpha ] + [ (m+n) \beta ] \geq [ m \alpha ] + [n \beta] + [ n(\alpha+\beta)] $$ es verdadera para cualquier número real $\alpha$ y $\beta$. Aquí $[x]$ denota el entero más grande que no es mayor que el número real $x$.

Sea $n$ un entero positivo, sea $S_n = \{ (a_1,a_2,\cdots,a_{2^n}) \mid a_i=0 \ \text{o} \ 1, 1 \leq i \leq 2^n\}$. Para dos elementos cualesquiera $a=(a_1,a_2,\cdots,a_{2^n})$ y $b=(b_1,b_2,\cdots,b_{2^n})$ de $S_n$, defina $$ d(a,b)= \sum_{i=1}^{2^n} |a_i - b_i| $$ Llamamos a $A \subseteq S_n$ un $\textsl{Subconjunto Bueno}$ si $d(a,b) \geq 2^{n-1}$ se cumple para dos elementos distintos cualesquiera $a$ y $b$ de $A$. ¿Cuántos elementos puede tener como máximo el $\textsl{Subconjunto Bueno}$ de $S_n$?

Sea $\omega$ el circuncírculo del triángulo acutángulo $ABC$. Dos tangentes de $\omega$ desde $B$ y $C$ se intersecan en $P$, $AP$ y $BC$ se intersecan en $D$. Los puntos $E$, $F$ están en $AC$ y $AB$ tales que $DE \parallel BA$ y $DF \parallel CA$. (1) Demuestre que $F,B,C,E$ son concíclicos. (2) Denotamos $A_{1}$ el centro del círculo que pasa por $F,B,C,E$. $B_{1}$, $C_{1}$ se definen de manera similar. Demuestre que $AA_{1}$, $BB_{1}$, $CC_{1}$ son concurrentes.

Demuestre que para cualquier $n$ ($n \geq 2$) fracciones distintas por pares en el intervalo $(0,1)$, la suma de sus denominadores no es menor que $\frac{1}{3} n^{\frac{3}{2}}$.

Llamamos a una matriz $\textsl{matriz binaria}$ si todas sus entradas son iguales a $0$ o $1$. Una matriz binaria es $\textsl{Buena}$ si satisface simultáneamente las siguientes dos condiciones: (1) Todas las entradas por encima de la diagonal principal (de izquierda a derecha), sin incluir la diagonal principal, son iguales. (2) Todas las entradas por debajo de la diagonal principal (de izquierda a derecha), sin incluir la diagonal principal, son iguales. Dado un entero positivo $m$, demuestre que existe un entero positivo $M$, tal que para cualquier entero positivo $n>M$ y una matriz binaria $A_n$ de $n \times n$ dada, podemos seleccionar enteros $1 \leq i_1 <i_2< \cdots < i_{n-m} \leq n$ y eliminar las filas $i_i$ - ésima, $i_2$ - ésima, $\cdots$, $i_{n-m}$ - ésima y las columnas $i_i$ - ésima, $i_2$ - ésima, $\cdots$, $i_{n-m}$ - ésima de $A_n$, entonces la matriz binaria resultante $B_m$ es $\textsl{Buena}$.

¿Determine si $\sqrt{1001^2+1}+\sqrt{1002^2+1}+ \cdots + \sqrt{2000^2+1}$ es un número racional o no?

El triángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $\omega$. El círculo $\gamma$ es tangente a $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Además, el círculo $\gamma$ es tangente al círculo $\omega$ en el punto $S$. Sea la intersección de $AS$ y $PQ$ ser $T$. Pruebe que $\angle{BTP}=\angle{CTQ}$.

Sean $a,b,c,d >0$ y $abcd=1$. Pruebe que: $$\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+c)^2}+\frac{1}{(1+d)^2} \geq 1 $$

El cuadrilátero cíclico $ABCD$ tiene longitudes de lados enteros positivos $AB$, $BC$, $CA$, $AD$. Se sabe que $AD=2005$, $\angle{ABC}=\angle{ADC} = 90^o$, y $\max \{ AB,BC,CD \} < 2005$. Determine los valores máximos y mínimos posibles para el perímetro de $ABCD$.

Sea $k$ un entero positivo. Demuestre que se puede particionar el conjunto $\{ 0,1,2,3, \cdots ,2^{k+1}-1 \}$ en dos subconjuntos disjuntos $\{ x_1,x_2, \cdots, x_{2k} \}$ y $\{ y_1, y_2, \cdots, y_{2k} \}$ tales que $\sum_{i=1}^{2^k} x_i^m =\sum_{i=1}^{2^k} y_i^m$ para todo $m \in \{ 1,2, \cdots, k \}$.