Una secuencia $\{a_n\}_{n\geq 1}$ se define por una relación de recurrencia $$a_1 = 1,\quad a_{n+1} = \log \frac{e^{a_n}-1}{a_n}$$ Y una secuencia $\{b_n\}_{n\geq 1}$ se define como $b_n = \prod\limits_{i=1}^n a_i$ . Evalúa una serie infinita $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ .

Para cualquier matriz unitaria $n\times n$, $A,B$ , prueba que $|\det (A+2B)|\leq 3^n$ .

Dos campos vectoriales $\mathbf{F},\mathbf{G}$ se definen en una región tridimensional $W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2\leq 1, |z|\leq 1\}$ . $$\mathbf{F}(x,y,z) = (\sin xy, \sin yz, 0),\quad \mathbf{G} (x,y,z) = (e^{x^2+y^2+z^2}, \cos xz, 0)$$ Evalúa la siguiente integral. \[\iiint_{W} (\mathbf{G}\cdot \text{curl}(\mathbf{F}) - \mathbf{F}\cdot \text{curl}(\mathbf{G})) dV\]

Se dan las matrices $A$ y $B$ de la siguiente manera. \[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 12\end{pmatrix}\] Encuentra el volumen de $V=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3 : \mathbf{x}\cdot A\mathbf{x} \leq 1 < \mathbf{x}\cdot B\mathbf{x} \}$ .

Sea $A = \begin{pmatrix} 2019 & 2020 & 2021 \\ 2020 & 2021 & 2022 \\ 2021 & 2022 & 2023 \end{pmatrix}$. Encuentra $\text{rango}(A)$ .

Veinte hormigas viven en las caras de un icosaedro, una hormiga en cada lado, donde el icosaedro tiene cada lado con longitud 1. Cada hormiga se mueve en sentido antihorario en cada cara, a lo largo del lado/bordes. La velocidad de cada hormiga debe ser no menor que 1 siempre. Además, si dos hormigas se encuentran, deben encontrarse en el vértice del icosaedro. Si cinco hormigas se encuentran al mismo tiempo en un vértice, llamamos a eso una colisión . ¿Pueden las hormigas moverse para siempre, de tal manera que no ocurra ninguna colisión?

Determina si existen o no dos polinomios $P, Q$ con grado no menor a 2018 y con coeficientes enteros tales que $$P(Q(x))=3Q(P(x))+1$$ para todos los números reales $x$ .

El triángulo $ABC$ satisface $\angle C=90^{\circ}$ . Un círculo que pasa por $A,B$ se encuentra con el segmento $AC$ en $G(\neq A,C)$ y se encuentra con el segmento $BC$ en el punto $D(\neq B)$ . El segmento $AD$ corta el segmento $BG$ en $H$ , y sea $l$ , la bisectriz perpendicular del segmento $AD$ , corta la bisectriz perpendicular del segmento $AB$ en el punto $E$ . Una línea que pasa por $D$ es perpendicular a $DE$ y corta a $l$ en el punto $F$ . Si la circunferencia circunscrita del triángulo $CFH$ corta a $AC$ , $BC$ en $P(\neq C),Q(\neq C)$ respectivamente, entonces prueba que $PQ$ es perpendicular a $FH$ .

Durante 31 años, n (>6) tenistas tienen récords de victorias. Resulta que para cada dos jugadores, hay un tercer jugador que les ha ganado antes. Demuestra que para cada entero $k,l$ tal que $2^{2^k+1}-1>n, 1<l<2k+1$ , existen $l$ jugadores ( $A_1, A_2, ... , A_l$ ) tales que cada jugador $A_{i+1}$ ganó a $A_i$ . ( $A_{l+1}$ es el mismo que $A_1$ )

El triángulo $ABC$ satisface $\angle ABC < \angle BCA < \angle CAB < 90^{\circ}$ . $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ , y $K$ es la reflexión de $O$ en $BC$ . $D,E$ es el pie de la línea perpendicular de $K$ a la línea $AB$ , $AC$ , respectivamente. La línea $DE$ se encuentra con $BC$ en $P$ , y un círculo con diámetro $AK$ se encuentra con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en $Q(\neq A)$ . Si $PQ$ corta la bisectriz perpendicular de $BC$ en $S$ , entonces prueba que $S$ se encuentra en el círculo con diámetro $AK$ .