Encuentra todos los enteros de la forma $\frac{m-6n}{m+2n}$ donde $m,n$ son números racionales no nulos que satisfacen $m^3=(27n^2+1)(m+2n)$ .

Sean $m,n$ enteros positivos con $1 \le n < m$ . Una caja está cerrada con varios candados que deben abrirse todos para abrir la caja, y que todos tienen diferentes llaves. Las llaves se distribuyen entre $m$ personas. Suponga que entre estas personas, ningún $n$ puede abrir la caja, pero cualquier $n+1$ puede abrirla. Encuentre el número más pequeño posible $l$ de candados y luego el número total de llaves para el cual esto es posible.

Sean $a,b$ enteros y $p$ un número primo tal que: (i) $p$ es el máximo común divisor de $a$ y $b$ ; (ii) $p^2$ divide a $a$ . Pruebe que el polinomio $x^{n+2}+ax^{n+1}+bx^{n}+a+b$ no puede descomponerse en el producto de dos polinomios con coeficientes enteros y grado mayor que $1$ .

Sean $O$ y $R$ el circuncentro y el circunradio de un triángulo $ABC$ , y sea $P$ cualquier punto en el plano del triángulo. Las perpendiculares $PA_1,PB_1,PC_1$ se dibujan desde $P$ sobre $BC,CA,AB$ . Exprese $S_{A_1B_1C_1}/S_{ABC}$ en términos de $R$ y $d = OP$ , donde $S_{XYZ}$ es el área de $\triangle XYZ$ .

Sea $ABC$ un triángulo equilátero de lado $1$ , $D$ un punto en $BC$ , y $r_1, r_2$ los inradios de los triángulos $ABD$ y $ADC$ . Exprese $r_1r_2$ en términos de $p = BD$ y encuentre el máximo de $r_1r_2$ .

Encuentre todas las funciones de los enteros no negativos en sí mismos, tales que: $2f(m^2+n^2)=f^2(m)+f^2(n)$ y para $m\geq n$ $f(m^2)\geq f(n^2)$ .

Para cualquier entero positivo $m$, demuestre que existen enteros $a,b$ que satisfacen $\left | a \right |\leq m$ , $ \left | b \right |\leq m$ , $0< a+b\sqrt{2}\leq \frac{1+\sqrt{2}}{m+2}$

En una reunión de $4042$ personas, hay $2021$ parejas, cada una de ellas formada por dos personas. Suponga que $A$ y $B$ , en la reunión, son amigos cuando se conocen. Para un entero positivo $n$ , cada persona elige un entero de $-n$ a $n$ de modo que se cumplan las siguientes condiciones. (Dos o más personas pueden elegir el mismo número). Dos o menos personas eligieron $0$ , y si exactamente dos personas eligieron $0$ , están emparejadas. Dos personas están emparejadas o no se conocen si eligieron el mismo número. Dos personas están emparejadas o se conocen si eligieron dos números que suman $0$ . Determine el menor valor posible de $n$ para el que tal selección de números sea siempre posible.

Determine todas las funciones $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \n$$f(f(x+y)-f(x-y))=y^2f(x)$$ \npara todos $x, y \in \mathbb{R}$ .

En un triángulo acutángulo $ABC$ con $\overline{AB} < \overline{AC}$ , la bisectriz del ángulo $A$ y la bisectriz perpendicular de $\overline{BC}$ se intersecan en $D$ . Sea $P$ un punto interior del triángulo $ABC$ . La línea $CP$ se encuentra con el circuncírculo del triángulo $ABP$ nuevamente en $K$ . Demuestre que $B, D, K$ son colineales si y sólo si $AD$ y $BC$ se encuentran en el circuncírculo del triángulo $APC$ .