El grafo $G$ se define en un espacio 3d. Tiene $e$ aristas y cada vértice está conectado si la distancia entre ellos es $1.$ Dado que existe el ciclo de Hamilton, demuestra que para $e>1,$ tenemos $$\min d(v)\le 1+2\left(\frac{e}{2}\right)^{0.4}.$$

Sea $n$ un 'Número Bueno' si la suma de todos los divisores de $n$ es menor que $2n$ para $n\in \mathbb{Z}.$ ¿Existe un conjunto infinito $M$ que satisfaga lo siguiente? Para todo $a,b\in M,$ $a+b$ es un número bueno. ( $a=b$ está permitido.)

Sea $\Delta ABC$ un triángulo y $P$ un punto en su interior. Demuestra que \[ \frac{[BPC]}{PA^2}+\frac{[CPA]}{PB^2}+\frac{[APB]}{PC^2} \ge \frac{[ABC]}{R^2} \] donde $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita de $\Delta ABC$ , y $[XYZ]$ es el área de $\Delta XYZ$ .

Sea $\Delta ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y circuncírculo $w$ . Sea $S$ el centro del círculo que es tangente a $AB$ , $AC$ , y $w$ (en el interior), y sea el círculo que se encuentra con $w$ en el punto $K$ . Sea el círculo con diámetro $AS$ que se encuentra con $w$ en $T$ . Si $M$ es el punto medio de $BC$ , demuestra que $K,T,M,O$ son concíclicos.

Sea $p=4k+1$ un primo. $S$ es un conjunto de todos los posibles residuos iguales o menores que $2k$ cuando $\frac{1}{2} \binom{2k}{k} n^k$ se divide entre $p$ . Demuestra que \[ \sum_{x \in S} x^2 =p \]

Denotemos $A_{DE}$ como el pie de la línea perpendicular desde $A$ a la línea $DE$ . Dados puntos concíclicos $A,B,C,D,E,F$ , demuestra que los tres puntos determinados por las líneas $A_{FD}A_{DE}$ , $B_{DE}B_{EF}$ , $C_{EF}C_{FD}$ , y los tres puntos determinados por las líneas $D_{CA}D_{AB}$ , $E_{AB}E_{BC}$ , $F_{BC}F_{CA}$ son concíclicos.

Para enteros impares $n,$ dos personas juegan un juego en una cuadrícula de $2\times n$. Cada persona colorea una celda que no ha sido coloreada antes con blanco y negro. Cuando se termina de colorear, cuentan el número de pares ordenados de celdas vecinas que tienen el mismo color y diferente color, respectivamente. Si los pares ordenados de celdas vecinas del mismo color son más que los pares ordenados de celdas vecinas de diferente color, la persona que empieza primero gana y pierde de lo contrario. (Si el número es el mismo, empatan). Si ambos usan la mejor estrategia, encuentra el resultado del juego.

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen las siguientes condiciones : 1) $f(x+y)-f(x)-f(y) \in \{0,1\} $ para todo $x,y \in \mathbb{R}$ 2) $\lfloor f(x) \rfloor = \lfloor x \rfloor $ para todo $x$ real .

Sea $M$ el conjunto de enteros positivos que no tienen un divisor primo mayor que 3. Para cualquier familia infinita de subconjuntos de $M$ , digamos $A_1,A_2,\ldots $ , demostrar que existen $i\ne j$ tales que para cada $x\in A_i$ existe algún $y\in A_j $ tal que $y\mid x$ .

Sea $n$ un entero positivo dado. Demostrar que existen infinitos triples de enteros $(x,y,z)$ tales que \[nx^2+y^3=z^4,\ \gcd (x,y)=\gcd (y,z)=\gcd (z,x)=1.\]