En la figura, $ABCD$ es un cuadrado con centro $O$ y área $1$; $K, L, M, N$ son los puntos medios de $OA, OB, OC$ y $OD$ respectivamente, y $R, S, T$ y $U$ son los puntos medios de $AL, BM, CN$ y $DK$, respectivamente. ¿Cuál es el área de la región sombreada? [image]

De los siguientes 7 números: $-9, 0, -5, 5, -4, -1, -3$, se escogieron 6 y se acomodaron por parejas de tal forma que la suma de cada pareja fuera la misma. ¿Cuál es el número que no se escogió?

¿Cuántas parejas $(a, b)$ de enteros positivos satisfacen $a^2+b=2008$?

Daniel tiene 9 monedas, cada una de 2 pesos; su hermana Rocío tiene 8 monedas, cada una de 5 pesos. ¿Cuál es el mínimo número de monedas que deben intercambiar para que al final tengan el mismo dinero exactamente? (En cada intercambio Daniel le da una moneda a Rocío y, al mismo tiempo, Rocío le da una moneda a Daniel).

El máximo común divisor de dos enteros positivos $a$ y $b$ es 12, y su mínimo común múltiplo es un cuadrado. ¿Cuántos de los siguientes 5 números son cuadrados? $\frac{a}{3}, \frac{b}{3}, \frac{a}{4}, \frac{b}{4}, a \times b$

Si $x^3 y^2 z^{-3} = 7$ y $xy^2 z^{-7} = 9$, ¿a qué es igual $xyz$?

¿Cuántos números enteros de 2008 cifras cumplen la propiedad de que cada número formado por dos dígitos consecutivos del número es múltiplo ya sea de 17 o de 23?

La figura muestra el esquema de un río que se va dividiendo. Empieza en el punto $A$; luego se divide en dos ramas, la primera lleva 2/3 del agua y la otra el resto. Después la primera rama se divide en tres, una de ellas toma 1/8 del agua de esa rama, otra toma 5/8 y la otra rama, que lleva el sobrante, se une con la segunda rama original. ¿Qué proporción del río llega al punto $B$? [imagen]

La figura muestra un triángulo isósceles con $AB=AC$. Si $PQ$ es perpendicular a $AB$, el ángulo $BPC$ mide $120^\circ$ y el ángulo $QPB$ mide $40^\circ$, ¿cuánto mide el ángulo $PBC$?

Una caja contiene 7 tarjetas numeradas del 1 al 7. María toma, al azar, tres tarjetas de la caja y después Carla toma 2 de las restantes, sin enseñárselas a María; sin embargo, María, que es muy inteligente, le dice a Carla: "Sé que la suma de tus cartas es par." ¿Cuál es la suma de las cartas de María?