Sea $n\ge 2$ un entero positivo. Hay $n$ polinomios de coeficientes reales $P_1(x),P_2(x),\cdots ,P_n(x)$ que no son todos iguales, y sus coeficientes principales son positivos. Demuestre que $$\deg(P_1^n+P_2^n+\cdots +P_n^n-nP_1P_2\cdots P_n)\ge (n-2)\max_{1\le i\le n}(\deg P_i)$$ y encuentre cuándo se cumple la igualdad.

Sean $ABCD$ un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo $\Omega$ tal que $AB<CD$ . Suponga que $AC$ se encuentra con $BD$ en $E$ , $AD$ se encuentra con $BC$ en $F$ , y $\Omega$ se encuentra con $(FAE)$ , $(FBE)$ en $X$ , $Y$ , respectivamente. Demuestre que si $XY$ es el diámetro de $\Omega$ , entonces $XY$ es perpendicular a $EF$ .

$ABCD$ es un cuadrilátero convexo, ambos $\angle ABC$ y $\angle BCD$ agudos. $E$ es un punto dentro de $ABCD$ satisfaciendo $AE=DE$ , y $X, Y$ son la intersección de $AD$ y $CE, BE$ respectivamente, pero no $X=A$ o $Y=D$ . Si $ABEX$ y $CDEY$ son ambos cuadriláteros inscritos, probar que la distancia entre $E$ y las líneas $AB, BC, CD$ son todas iguales.

Se da un conjunto finito $\{a_1, a_2, ..., a_n, b_1, b_2, ..., b_n\}=\{1, 2, …, 2n\}$. Si $a_1<a_2<...<a_n$ y $b_1>b_2>...>b_n$ , mostrar que $$\sum_{i=1}^n |a_i-b_i|=n^2$$

Para variables reales $0 \leq x, y, z, w \leq 1$ , encontrar el valor máximo de $$x(1-y)+2y(1-z)+3z(1-w)+4w(1-x)$$

$A$ es un conjunto que satisface la siguiente condición. Mostrar que $2001+\sqrt{2001}$ es un elemento de $A$ . Condición (1) $1 \in A$ (2) Si $x \in A$ , entonces $x^2 \in A$ . (3) Si $(x-3)^2 \in A$ , entonces $x \in A$ .

Algunas $n \geq 3$ ciudades están conectadas con ferrocarriles, de modo que se puede viajar de una ciudad a otra, no necesariamente directamente. Sin embargo, los ferrocarriles están estructurados de tal manera que sólo hay una manera de ir de una ciudad a otra, asumiendo que no se pasa por la misma ciudad otra vez. Sea $A$ el conjunto de estas ciudades y ferrocarriles. Mostrar que existe un subconjunto de $A$ , digamos $C$ , tal que (1) $C$ tiene al menos $[(n+1)/2]$ ciudades como su elemento. (2) Ningún par de elementos de $C$ están directamente conectados con ferrocarriles.

$A, B$ son puntos en el círculo $O$ que satisfacen $\angle AOB < 120^{\circ} $ . $C$ es un punto en la línea tangente de $O$ que pasa por $A$ satisfaciendo $AB=AC$ y $\angle BAC < 90^{\circ} $ . $D$ es la intersección de $O$ y $BC$ no $B$ , e $I$ es el incentro de $ABD$ . Demostrar que $AE=AC$ donde $E$ es la intersección de $CI$ y $AD$ .

$n$ es un producto de dos primos consecutivos. $s(n)$ denota la suma de los divisores de $n$ y $p(n)$ denota el número de enteros positivos relativamente primos que no exceden a $n$ . Expresar $s(n)p(n)$ como un polinomio de $n$ .

Un triángulo rectángulo de la siguiente condición es dado: las longitudes de los tres lados son todos enteros positivos y la longitud del segmento más corto es $141$ . Para el triángulo que tiene el área mínima mientras satisface la condición, encontrar las longitudes de los otros dos lados.