Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con incentro $I$ y circuncírculo $\Omega$ . La línea que pasa por $I$ y es perpendicular a $AI$ se encuentra con $AB, AC$ en $D, E$ , respectivamente. El $A$ - excírculo de $\triangle{ABC}$ se encuentra con $BC$ en $T$ . $AT$ se encuentra con $\Omega$ en $P$ . La línea que pasa por $P$ y es paralela a $BC$ se encuentra con $\Omega$ en $Q$ . La intersección de $QI$ y $AT$ es $K$ . Demuestre que $Q,D,K,E$ son concíclicos.

Determine todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que $$f(f(x)-9f(y))=(x+3y)^2f(x-3y)$$ para todo $x,y\in \mathbb{R}$ .

Para un conjunto finito $A$ de enteros positivos y su subconjunto $B$ , llame a $B$ un medio subconjunto de $A$ cuando satisface la ecuación $\sum_{a\in A}a=2\sum_{b\in B}b$ . Por ejemplo, si $A=\{1,2,3\}$ , entonces $\{1,2\}$ y $\{3\}$ son medios subconjuntos de $A$ . Determine todos los enteros positivos $n$ tales que exista un conjunto finito $A$ que tenga exactamente $n$ medios subconjuntos.

Sea $n\ge 2$ un entero positivo. $S$ es un conjunto de $2n$ aeropuertos. Para dos aeropuertos arbitrarios $A,B$ , si hay una vía aérea de $A$ a $B$ , entonces hay una vía aérea de $B$ a $A$ . Suponga que $S$ tiene solo un conjunto independiente de $n$ aeropuertos. Sea el conjunto independiente $X$ . Demuestre que existe un aeropuerto $P\in S\setminus X$ que satisface la siguiente condición. Condición: Para dos aeropuertos distintos arbitrarios $A,B\in S\setminus \{P\}$ , si existe un camino que conecta $A$ y $B$ , entonces existe un camino que conecta $A$ y $B$ que no pasa por $P$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB<AC$ . Sea $\Omega$ su circuncírculo, $O$ su circuncentro y $l$ la bisectriz del ángulo interno de $\angle BAC$ . Suponga que las tangentes a $\Omega$ en $B$ y $C$ se intersecan en $X$ . Sea $\omega$ un círculo cuyo centro es $X$ y pasa por $B$ , e $Y$ sea la intersección de $l$ y $\omega$ que se elige dentro de $\triangle ABC$ . Sean $D,E$ las proyecciones de $Y$ sobre $AB,AC$ , respectivamente. $OY$ se encuentra con $BC$ en $Z$ . $ZD,ZE$ se encuentran con $l$ en $P,Q$ , respectivamente. Demuestre que $BQ$ y $CP$ son paralelas.

Demuestre que la ecuación $y^2=x^3+7$ no tiene ninguna solución en los enteros.

Determine todos los enteros positivos $(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3)$ tales que $y_1+ny_2^n+n^2y_3^{2n}$ divide a $x_1+nx_2^n+n^2x_3^{2n}$ para todo entero positivo $n$ .

Sea $ABDC$ un cuadrilátero cíclico inscrito en un círculo $\Omega$ . $AD$ se encuentra con $BC$ en $P$ , y $\Omega$ se encuentra con líneas que pasan por $A$ y son paralelas a $DB$ , $DC$ en $E$ , $F$ , respectivamente. $X$ es un punto en $\Omega$ tal que $PA=PX$ . Demuestre que las líneas $BE$ , $CF$ y $DX$ son concurrentes.

Hay $2022$ estudiantes en la escuela de invierno. Dos estudiantes arbitrarios son amigos o enemigos entre sí. En cada turno, elegimos un estudiante $S$ , convertimos en amigos de $S$ a sus enemigos y convertimos en enemigos de $S$ a sus amigos. Esto continúa hasta que satisface la condición final. Condición Final: Para cualquier partición de estudiantes en dos grupos no vacíos $A$ , $B$ , existen dos estudiantes $a$ , $b$ tales que $a\in A$ , $b\in B$ , y $a$ , $b$ son amigos entre sí. Determine el valor mínimo de $n$ tal que, independientemente de la condición inicial, podemos satisfacer la condición final con no más de $n$ turnos.

Sea $n\ge 3$ un entero positivo. Amy escribió todos los enteros de $1$ a $n^2$ en la cuadrícula de $n\times n$ , de modo que cada celda contiene exactamente un número. Para $i=1,2,\cdots ,n^2-1$ , la celda que contiene $i$ comparte un lado común con la celda que contiene $i+1$ . En cada turno, Bred puede elegir una celda y verificar qué número está escrito. Bred quiere saber dónde está escrito $1$ en menos de $3n$ turnos. Determine si $n$ tal que Bred siempre puede lograr su objetivo es infinito.