Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida como \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-1}& (x > 1)\\ 1& (x=1)\\ \frac{x}{1-x} & (x<1) \end{cases} \] Sea $x_1$ un número irracional positivo que es un cero de un polinomio cuadrático con coeficientes enteros. Para cada entero positivo $n$ , sea $x_{n+1} = f(x_n)$ . Demuestre que existen diferentes enteros positivos $k$ y $\ell$ tales que $x_k = x_\ell$ .

Sea $ABC$ un triángulo escaleno, y su incírculo toca a $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ . La bisectriz perpendicular de $BC$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $P, Q$ , donde $P$ está en el mismo lado con $A$ con respecto a $BC$ . Sea la línea paralela a $AQ$ y que pasa por $D$ se encuentra con $EF$ en $R$ . Demuestre que la intersección entre $EF$ y $PQ$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $BCR$ .

Encuentre todos los números primos $p$ tales que existe un entero $n$ y enteros positivos $k, m$ que satisfacen lo siguiente. \n$$ \frac{(mk^2+2)p-(m^2+2k^2)}{mp+2} = n^2$$

Sea $U$ el conjunto de las $20$ diagonales del polígono regular $P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8$ . Encuentre el número de conjuntos $S$ que satisfacen las siguientes condiciones. \n1. $S$ es un subconjunto de $U$ . \n2. Si $P_iP_j \in S$ y $P_j P_k \in S$ , e $i \neq k$ , $P_iP_k \in S$ .

Se da un primo arbitrario $ p$ . Si una secuencia de enteros $ (n_1 , n_2 , \cdots , n_k )$ satisface las condiciones - Para todo $ i= 1, 2, \cdots , k$ , $ n_i \geq \frac{p+1}{2}$ - Para todo $ i= 1, 2, \cdots , k$ , $ p^{n_i} - 1$ es divisible por $ n_{i+1}$ , y $ \frac{p^{n_i} - 1}{n_{i+1}}$ es coprimo con $ n_{i+1}$ . Sea $ n_{k+1} = n_1$ . Existe no para $ k=1$ , pero existe para algún $ k \geq 2$ , entonces llame al primo un primo bueno. Demuestre que un primo es bueno si y solo si no es $ 2$ .

En una mesa circular están sentadas $ 2n$ personas, espaciadas equitativamente entre sí. Se dan $ m$ galletas a estas personas, y dan galletas a sus vecinos de acuerdo con la siguiente regla. (i) Uno solo puede dar galletas a las personas adyacentes a él. (ii) Para dar una galleta al vecino, uno debe comerse una galleta. Seleccione arbitrariamente una persona $ A$ sentada en la mesa. Encuentre el valor mínimo $ m$ tal que exista una estrategia en la que $ A$ pueda recibir eventualmente una galleta, independientemente de la distribución de galletas al principio.

Dado un trapecio $ ABCD$ donde $ AB$ y $ CD$ son paralelos, y $ A,B,C,D$ están en el sentido de las agujas del reloj en este orden. Sea $ \Gamma_1$ el círculo con centro $ A$ que pasa por $ B$ , $ \Gamma_2$ el círculo con centro $ C$ que pasa por $ D$ . La intersección de la línea $ BD$ y $ \Gamma_1$ es $ P$ $ ( \ne B,D)$ . Denotemos por $ \Gamma$ el círculo con diámetro $ PD$ , y sea $ \Gamma$ y $ \Gamma_1$ se encuentran en $ X$ $ ( \ne P)$ . $ \Gamma$ y $ \Gamma_2$ se encuentran en $ Y$ . Si la circunferencia del triángulo $ XBY$ y $ \Gamma_2$ se encuentran en $ Q$ , demuestre que $ B,D,Q$ son colineales.

Hay $ n$ sitios web $ 1,2,\ldots,n$ ( $ n \geq 2$ ) . Si hay un enlace del sitio web $ i$ a $ j$ , podemos usar este enlace para que podamos mover el sitio web $ i$ a $ j$ . Para todo $ i \in \left\{1,2,\ldots,n - 1 \right\}$ , hay un enlace del sitio web $ i$ a $ i+1$ . Demuestre que podemos agregar menos o igual que $ 3(n - 1)\log_{2}(\log_{2} n)$ enlaces para que para todos los enteros $ 1 \leq i < j \leq n$ , comenzando con el sitio web $ i$ , y usando a lo sumo tres enlaces al sitio web $ j$ . (Si usamos un enlace, el número del sitio web debe aumentar. Por ejemplo, el No.7 al 4 es imposible).

Sea $ I$ el incentro y $ O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ ABC$ dado. El incírculo es tangente a $ BC$ en $ D$ . Asuma que $ \angle B < \angle C$ y los segmentos $ AO$ y $ HD$ son paralelos, donde $H$ es el ortocentro del triángulo $ABC$ . Sea la intersección de la línea $ OD$ y $ AH$ ser $ E$ . Si el punto medio de $ CI$ es $ F$ , demuestre que $ E,F,I,O$ son concíclicos.

Dado un triángulo arbitrario $ ABC$ , denotemos por $ P,Q,R$ las intersecciones del incírculo con los lados $ BC, CA, AB$ respectivamente. Sea el área del triángulo $ ABC$ ser $ T$ , y su perímetro $ L$ . Demuestre que la desigualdad \[\left(\frac {AB}{PQ}\right)^3 +\left(\frac {BC}{QR}\right)^3 +\left(\frac {CA}{RP}\right)^3 \geq \frac {2}{\sqrt {3}} \cdot \frac {L^2}{T}\] se cumple.