Para un primo $p$ de la forma $12k+1$ y $\mathbb{Z}_p=\{0,1,2,\cdots,p-1\}$ , sea \[\mathbb{E}_p=\{(a,b) \mid a,b \in \mathbb{Z}_p,\quad p\nmid 4a^3+27b^2\}\] Para $(a,b), (a',b') \in \mathbb{E}_p$ decimos que $(a,b)$ y $(a',b')$ son equivalentes si existe un elemento no nulo $c\in \mathbb{Z}_p$ tal que $p\mid (a' -ac^4)$ y $p\mid (b'-bc^6)$ . Encuentre el número máximo de elementos no equivalentes en $\mathbb{E}_p$ .

Hay dos aerolíneas A y B y un número finito de aeropuertos. Para cada par de aeropuertos, hay exactamente una aerolínea entre A y B cuyos vuelos operan en ambas direcciones. Cada aerolínea planea desarrollar paquetes de viajes mundiales que pasen por cada aeropuerto exactamente una vez utilizando solo sus vuelos. Sean $a$ y $b$ el número de paquetes posibles que pertenecen a A y B respectivamente. Demuestra que $a-b$ es un múltiplo de $4$ . La declaración oficial del problema ha sido cambiada. Lo anterior es la forma que apareció durante el concurso. Ahora se adjunta la condición 'el número de aeropuertos no es menor que 4'.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ . Sea $D$ la intersección de la bisectriz del ángulo $A$ y $BC$ . Supón que $\angle ODC = 2 \angle DAO$ . La circunferencia circunscrita de $ABD$ se encuentra con el segmento de línea $OA$ y la línea $OD$ en $E (\neq A,O)$ , y $F(\neq D)$ , respectivamente. Sea $X$ la intersección de la línea $DE$ y el segmento de línea $AC$ . Sea $Y$ la intersección de la bisectriz del ángulo $BAF$ y el segmento $BE$ . Demuestra que $\frac{\overline{AY}}{\overline{BY}}= \frac{\overline{EX}}{\overline{EO}}$.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen lo siguiente. (Ten en cuenta que $\mathbb{R}$ representa el conjunto de todos los números reales) (1) Para cada número real $x$ , $y$ , la igualdad $f(x+f(x)+xy) = 2f(x)+xf(y)$ se cumple. (2) Para cada número real $z$ , existe $x$ tal que $f(x) = z$.

Para un número primo $p$, demuestra que existen enteros $a$ , $b$ , $c$ , $d$ tales que para cada entero $n$ , la expresión $n^4+1-\left( n^2+an+b \right) \left(n^2+cn+d \right)$ es un múltiplo de $p$.

$\left\{a_{n}\right\}$ es una secuencia de números naturales que satisface la siguiente desigualdad para todo número natural $n$ : $$(a_{1}+\cdots+a_{n})\left(\frac{1}{a_{1}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}\right)\le{n^{2}}+2019$$ Demuestra que $\left\{a_{n}\right\}$ es constante.

Encuentra todos los pares de números primos $p,\,q(p\le q)$ que satisfacen la siguiente condición: Existe un número natural $n$ tal que $2^{n}+3^{n}+\cdots+(2pq-1)^{n}$ es un múltiplo de $2pq$.

En un triángulo acutángulo $ABC$, el punto $D$ está en el segmento $AC$ tal que $\overline{AD}=\overline{BC}$ y $\overline{AC}^2-\overline{AD}^2=\overline{AC}\cdot\overline{AD}$. La línea que es paralela a la bisectriz de $\angle{ACB}$ y pasa por el punto $D$ se encuentra con el segmento $AB$ en el punto $E$. Demuestra que, si $\overline{AE}=\overline{CD}$, $\angle{ADB}=3\angle{BAC}$.

Cada coordenada entera se colorea con un color y se utilizan al menos 5 colores para colorear cada coordenada entera. Dos coordenadas enteras $(x, y)$ y $(z, w)$ se colorean del mismo color si $x-z$ y $y-w$ son ambos múltiplos de 3. Demuestra que existe una línea que pasa exactamente por tres puntos cuando se eligen cinco puntos con diferentes colores al azar.

Sean $n$ estudiantes y $m$ clubes. Los estudiantes se unieron a los clubes de tal manera que lo siguiente es verdadero: - Para todos los estudiantes $x$ , puedes escoger algunos clubes tales que $x$ es el único estudiante que se unió a todos los clubes escogidos. Sea el número de clubes a los que cada estudiante se unió $a_1,a_2,...,a_m$. Demuestra que $$a_1!(m - a_1)! + a_2!(m - a_2)! + ... + a_n!(m -a_n)! \le m!$$