En un paralelogramo $\Box ABCD$ $(AB < BC)$ La circunferencia inscrita de $\triangle ABC$ se encuentra con $\overline {BC}$ y $\overline {CA}$ en $P, Q$. La circunferencia inscrita de $\triangle ACD$ se encuentra con $\overline {CD}$ en $R$. Sea $S$ = $PQ$ $\cap$ $AD$ $U$ = $AR$ $\cap$ $CS$ $T$ , un punto en $\overline {BC}$ tal que $\overline {AB} = \overline {BT}$ Demuestra que $AT, BU, PQ$ son concurrentes

Sea $p = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^5}$. Para reales no negativos $x, y,z$ que satisfacen $(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = 27,$ encuentra el valor máximo de $x^p + y^p + z^p.$

Para enteros positivos $x,y$ , encuentra todos los pares $(x,y)$ tales que $x^2y + x$ es un múltiplo de $xy^2 + 7$.

Los enteros positivos $p, q, r$ satisfacen $gcd(a,b,c) = 1$. Demuestra que existe un entero $a$ tal que $gcd(p,q+ar) = 1$.

Encuentra el número de movimientos de $n$ en el siguiente grafo, empezando desde $S$. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/2/0/4a23c83c7f5405575acbe6d09f202d87341337.png

Sean $2n$ reales positivos $a_1,a_2,...,a_{2n}$. Sean $s = a_1 + a_3 +...+ a_{2n-1}$ , $t = a_2 + a_4 + ... + a_{2n}$ , y $x_k = a_k + a_{k+1} + ... + a_{k+n-1}$ (los índices se toman módulo $2n$ ). Demuestra que $$\frac{s}{x_1}+\frac{t}{x_2}+\frac{s}{x_3}+\frac{t}{x_4}+...+\frac{s}{x_{2n-1}}+\frac{t}{x_{2n}}>\frac{2n^2}{n+1}$$

Dado $\triangle ABC$ con incentro $I$. La línea $AI$ se encuentra con $BC$ en $D$. Los incentros de $\triangle ABD, \triangle ADC$ son $E,F$, respectivamente. La línea $DE$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $\triangle BCE$ en $P(\neq E)$ y la línea $DF$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $\triangle BCF$ en $Q(\neq F)$. Demuestra que el punto medio de $BC$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $\triangle DPQ$.

Un conjunto $P$ consta de $2005$ números primos distintos. Sea $A$ el conjunto de todos los productos posibles de $1002$ elementos de $P$ , y $B$ sea el conjunto de todos los productos de $1003$ elementos de $P$ . Encontrar una correspondencia biunívoca $f$ de $A$ a $B$ con la propiedad de que $a$ divide a $f (a)$ para todo $a \in A.$

Encontrar todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que tanto $3^{m}+1$ como $3^{n}+1$ son divisibles por $mn$ .

En lo siguiente, el punto de intersección de dos líneas $ g$ y $ h$ se abreviará como $ g\cap h$ . Supongamos que $ ABC$ es un triángulo en el que $ \angle A = 90^{\circ}$ y $ \angle B > \angle C$ . Sea $ O$ el circuncírculo del triángulo $ ABC$ . Sean $ l_{A}$ y $ l_{B}$ las tangentes al círculo $ O$ en $ A$ y $ B$ , respectivamente. Sea $ BC \cap l_{A} = S$ y $ AC \cap l_{B} = D$ . Además, sea $ AB \cap DS = E$ , y sea $ CE \cap l_{A} = T$ . Denotemos por $ P$ el pie de la perpendicular desde $ E$ sobre $ l_{A}$ . Denotemos por $ Q$ el punto de intersección de la línea $ CP$ con el círculo $ O$ (distinto de $ C$ ) . Denotemos por $ R$ el punto de intersección de la línea $ QT$ con el círculo $ O$ (distinto de $ Q$ ) . Finalmente, definimos $ U = BR \cap l_{A}$ . Demostrar que \[ \frac {SU \cdot SP}{TU \cdot TP} = \frac {SA^{2}}{TA^{2}}. \]