Semifinal Estatal OMM 2003 Problema 2
En la siguiente figura el triángulo $ABC$ es equilátero, tiene lado 2 y la semicircunferencia tiene diámetro $BC$. ¿Cuánto vale el área sombreada?
Semifinal Estatal OMM 2003 Problema 1
Exactamente una de las siguientes afirmaciones acerca del número de mi casa es falsa. (a) La suma de las cifras del número es 6. (b) Dos de las cifras del número son iguales. (c) El número es menor que 110. (d) El número es mayor que 40. (e) El número es primo. (NotA: Las cifras de un número son los dígitos que lo forman; por ejemplo, las cifras de 2003 son 2, 0, 0 y 3.) ¿Cuál es el número de mi casa?
Semifinal Estatal OMM 2003 Problema 4
En un cuadrado de $4 \times 4$ se hace un corte con una línea recta que lo divide en dos cuadriláteros iguales. Si los cuadriláteros tienen perímetro 13, ¿cuál es la longitud del lado menor de los cuadriláteros?
Semifinal Estatal OMM 2003 Problema 5
Alicia tiene 6 tarjetas y en cada una de ellas está escrito un número entero positivo (algunos de los números pueden ser iguales entre sí). Toma 3 tarjetas y suma los números correspondientes. Al hacer esto con las 20 posibles combinaciones de 3 tarjetas, obtiene 10 veces el resultado 18, y 10 veces el resultado 16. ¿Cuáles son los números de las tarjetas?
Semifinal Estatal OMM 2003 Problema 6
En un juego de computadora se empieza con un tablero de $3 \times 2$ coloreado de blanco y negro, como se indica en la figura A. En cada jugada se eligen dos cuadritos que comparten un lado y se les cambia el color de acuerdo a las siguientes reglas: Negro cambia a rojo, rojo cambia a blanco y blanco cambia a negro. (a) Describe una forma de convertir el tablero A en el tablero B en 6 jugadas. (b) Demuestra que no es posible convertir el tablero A en el B en menos de 6 jugadas.
Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 4
La lista $(1, x_2, x_3, \\ldots , x_n , 1000)$ es la sucesión más larga de enteros positivos tal que cada término a partir del tercero es la suma de todos los anteriores (por ejemplo $x_4 = 1 + x_2 + x_3$). ¿Cuánto vale $x_2$?
Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 2
En una lista están escritos los números del 1 al 16. ¿Es posible tachar 4 de ellos de manera que al multiplicar cualesquiera 2 de los 12 que queden el resultado no sea el cuadrado de un número entero?
Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 1
En una mesa hay 350 canastas vacías numeradas del 1 al 350. Sabemos que Andrés puso una pelota en cada canasta con número par, Beatriz puso una pelota en cada canasta con número múltiplo de 3, Carlos puso una pelota en cada canasta con número múltiplo de 5 y Diana puso una pelota en cada canasta con número múltiplo de 11. Encuentra dos canastas con números consecutivos que tengan exactamente 4 pelotas entre las 2.
Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 3
En la figura los triángulos $ABC$ y $CDE$ son equiláteros, $C$ es el punto sobre $BD$ tal que $BC = 1$ y $CD = 4$, y $F$ y $G$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo sombreado? [image]
Semifinal Estatal OMM 2002 Problema 6
Una cuadrícula de $8 \times 2$ quiere cubrirse con 8 fichas de $2 \times 1$ de manera que todos los cuadritos estén cubiertos (en la figura de abajo puede verse una posible forma de hacerlo). ¿De cuántas maneras puede hacerse esto? [image]