Refleje cada una de las formas $A,B$ sobre algunas líneas $l_A,l_B$ respectivamente y rote la forma $C$ de tal manera que se obtenga un cuadrado de $4 \times 4$. Identifique las líneas $l_A,l_B$ y el centro de la rotación, y también dibuje las versiones transformadas de $A,B$ y $C$ bajo estas operaciones.

Sea $n$ un entero mayor que $1$ tal que $n$ pueda ser representado como la suma de los cubos de dos números racionales, demuestre que $n$ también es la suma de los cubos de dos números racionales no negativos.

En un tablero de ajedrez, llamamos a un grupo de reinas 'independientes' si ninguna amenaza a otra. En una cuadrícula de $n$ por $n$ , colocamos exactamente una reina en cada celda de la cuadrícula. Denotemos por $M_n$ el número mínimo de grupos 'independientes' cuya unión contiene todas las reinas. Sea $k$ un entero positivo, demuestre que $M_{3k+1} \le 3k+2$

Sea $P(x)=x^{2016}+2x^{2015}+...+2017,Q(x)=1399x^{1398}+...+2x+1$ . Demuestre que existen secuencias estrictamente crecientes $a_i,b_i, i=1,...$ de enteros positivos tales que $gcd(a_i,a_{i+1})=1$ para cada $i$ . Además, para cada $i$ par , $P(b_i) \nmid a_i, Q(b_i) | a_i$ y para cada $i$ impar , $P(b_i)|a_i,Q(b_i) \nmid a_i$

Llamamos a un polinomio $P(x)=a_dx^d+...+a_0$ de grado $d$ 'agradable' si $$\frac{2021(|a_d|+...+|a_0|)}{2022}<max_{0 \le i \le d}|a_i|$$ Inicialmente Shayan tiene una secuencia de $d$ números reales distintos; $r_1,...,r_d \neq \pm 1$ . En cada paso, elige un entero positivo $N>1$ y eleva los $d$ números que tiene al exponente de $N$ , luego elimina los $d$ números anteriores y construye un polinomio mónico de grado $d$ con estos números como raíces, luego examina si es 'agradable' o no. Demuestre que después de algunos pasos, todos los polinomios que Shayan produce serían polinomios 'agradables'.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB \neq AC$ y con incentro $I$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ , y sea $L$ el punto medio del arco circular $BAC$ . Las líneas que pasan por $M$ paralelas a $BI,CI$ se encuentran con $AB,AC$ en $E$ y $F$ , respectivamente, y se encuentran con $LB$ y $LC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que $I$ se encuentra en el eje radical de los circuncírculos de los triángulos $EMF$ y $PMQ$ .

Un poliominó es una región con interior conectado que es una unión de un número finito de cuadrados de una cuadrícula de cuadrados unitarios. ¿Existe un entero positivo $n>4$ y un poliominó $P$ contenido completamente dentro de una cuadrícula de $n$ - por - $n$ tal que $P$ contiene exactamente $3$ cuadrados unitarios en cada fila y cada columna de la cuadrícula?

En una tabla de $3$ por $3$ , por un gusano de $k$ , nos referimos a un camino de celdas diferentes $(S_1,S_2,...,S_k)$ tal que cada dos celdas consecutivas tienen un lado en común. El gusano de $k$ en cada paso puede avanzar una celda y girar a $(S,S_1,...,S_{k-1})$ si $S$ es una celda no llena que es adyacente (tiene un lado en común) con $S_1$ . Encuentre el número máximo de $k$ tal que exista un gusano de $k$ $(S_1,...,S_k)$ tal que después de finitamente muchos pasos se pueda girar a $(S_k,...,S_1)$ .

Sea $f : \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ que satisface $f(x)=f(x+2)+2f(x^2+2x)$ . Demuestre que si para toda $x>1400^{2021}$ , $xf(x) \le 2021$ , entonces $xf(x) \le 2021$ para toda $x \in \mathbb {R}^+$

Suponga que dos círculos $\alpha, \beta$ con centros $P,Q$ , respectivamente , se intersecan ortogonalmente en $A$ , $B$ . Sea $CD$ un diámetro de $\beta$ que es exterior a $\alpha$ . Sean $E,F$ puntos en $\alpha$ tales que $CE,DF$ son tangentes a $\alpha$ , con $C,E$ en un lado de $PQ$ y $D,F$ en el otro lado de $PQ$ . Sea $S$ la intersección de $CF,AQ$ y $T$ la intersección de $DE,QB$ . Demuestre que $ST$ es paralelo a $CD$ y es tangente a $\alpha$