Las competiciones finales no se llevaron a cabo debido a la pandemia de COVID-19.

Se da un cubo $ABCDA'B'C'D'$ con una arista de longitud $2$ y vértices marcados como en la figura. El punto $K$ es el centro de la arista $AB$. El plano que contiene los puntos $B',D', K$ interseca la arista $AD$ en el punto $L$. Calcula el volumen de la pirámide con vértice $A$ y base el cuadrilátero $D'B'KL$.

Los cuadrados del tablero de ajedrez de $14 \times 14$ están coloreados en un patrón, como se muestra en la imagen. ¿Puedes elegir siete campos negros y siete cuadrados blancos de este tablero de ajedrez de tal manera que haya exactamente un campo seleccionado en cada fila y columna? Justifica tu respuesta.

Tomek invitó a una fiesta de cumpleaños remota a $11$ de sus amigos que se unirán a la reunión uno por uno. Tomek eligió a los invitados de tal manera que, independientemente del orden en que se unan, el recién llegado siempre conociera al menos a la mitad de las personas ya presentes, incluido Tomek. Demuestra que entre los invitados, hay uno que conoce a los otros $10$ amigos de Tomek. Advertencia: Asumimos que si la persona A conoce a la persona $B$ , entonces $B$ también conoce a $A$ .

Los puntos $K$ y $L$ están en los lados $BC$ y $CD$ , respectivamente, del paralelogramo $ABCD$ , tales que $AB + BK = AD + DL$ . Demuestra que la bisectriz del ángulo $BAD$ es perpendicular a la línea $KL$ .

Dados enteros positivos $a, b$ para los cuales $5a + 3b$ es divisible por $a + b$ . Demuestra que $a = b$ .

Dado el cuadrado $ABCD$ . El punto $E$ se encuentra en la diagonal $AC$ , donde $AE> EC$ . En el lado $AB$ , se ha seleccionado un punto diferente de $B$ para el cual $EF = DE$ . Demuestra que $\angle DEF = 90^o$ .

Los números $a, b$ satisfacen la condición $2a + a^2= 2b + b^2$ . Demuestra que si $a$ es un entero, $b$ también es un entero.

Sea $S=\underbrace{111\dots 1}_{19}\underbrace{999\dots 9}_{19}$ . Demuestre que el número de $2S$ dígitos \[\underbrace{111\dots 1}_{S}\underbrace{999\dots 9}_{S}\] es un múltiplo de $19$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$ . Sean $P,Q,R$ puntos en los lados $AB, BC, CA$ del triángulo tales que $CQPR$ es un paralelogramo. Demuestre que la reflexión de $P$ sobre $QR$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$ .