En la figura los puntos $C$, $D$ y $E$ están sobre una circunferencia con centro en $O$; $ABCD$ es un cuadrado y $ABE$ un triángulo equilátero. Si el área del círculo es 1, ¿Cuál es el área de la región sombreada? [image]

En una fiesta cada persona saludó a exactamente otras tres personas. (i) Explica por qué es imposible que a la fiesta hayan asistido exactamente 2001 personas. (ii) Si hubo en total 123 saludos, ¿cuántas personas asistieron a la fiesta?

Se tienen 6 números enteros $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$ que cumplen $C = A \times B$, $D = B \times C$, $E = C \times D$ y $F = D \times E$ (es decir, a partir del tercero, cada uno es el producto de los dos anteriores). Si sabemos que $A = 2$ y que $F = 6 \ 075 \ 000$, determina $B$, $C$, $D$ y $E$.

Para un entero $n \ge 2$, un triángulo equilátero de lado $n$ se divide en $n^2$ triángulos equiláteros de lado 1 como se ilustra en la figura (para $n = 4$). Decimos que dos triangulitos de éstos son vecinos si comparten ya sea un lado o un vértice. Se quiere escribir los números del 1 al $n^2$ en los triangulitos (uno en cada triangulito) de tal manera que números que estén escritos en triangulitos vecinos no tengan el mismo residuo al dividirlos entre 5. ¿Para qué valores de $n$ es esto posible? [image]

Encuentra todos los enteros positivos menores que 2001 que son iguales a tres veces la suma de sus cifras.

En la figura, los puntos $A$, $P$, $Q$ y $R$ están sobre la circunferencia con centro $C$; $ABCD$ es un cuadrado; la recta $PR$ pasa por $B$ y $D$; la recta $QR$ pasa por $C$. Determina el ángulo $\angle PQR$. [image]

Con 125 cubitos de lado 1 se forma un cubo grande de lado 5. Muestra una manera de poner en cada cubito un número entero de tal forma que todas las sumas por filas (ve la descripción aquí abajo) sean iguales pero no todos los 125 números sean iguales. Aclaraciones: (a) Vas a escribir 125 números en total. Puedes repetir números, pero entre los 125 debe haber al menos dos distintos. (b) Se considera fila cualquier hilera de 5 cubitos alineados que lleve una dirección paralela a alguno de los lados del cubo. En otras palabras, hay en total 75 filas; 25 de ellas llevan la dirección adelante-atrás, otras 25 van en dirección izquierda-derecha y otras 25 llevan dirección arriba-abajo. En la figura se ilustra una fila en dirección izquierda-derecha. (c) Escribe tu respuesta poniendo 5 cuadrículas de $5 \times 5$ de manera que cada cuadrícula represente un “piso” del cubo. [image]

El hexágono regular $ABCDEF$ de la figura tiene área 2001 y $P$ es la intersección de las rectas $AF$ y $CE$. Calcula el área del triángulo $AEP$. [image]

Una rueda tiene a su alrededor 128 casillas numeradas en forma consecutiva del 1 al 128. Una pulga va saltando de una casilla a otra siguiendo la siguiente regla: Cuando está sobre la casilla con número $N$ puede saltar únicamente a cualquiera de las dos casillas que están separadas $N$ casillas de esa misma (por ejemplo, cuando está en la casilla 3, sus dos posibilidades de salto son a la casilla 6 o a la casilla 128). Determina todas las casillas donde puede haber iniciado sus saltos la pulga de tal manera que, sin importar cómo haya ido saltando, al terminar su quinto salto se puede asegurar que está en la casilla 128 (tal vez no por primera vez).

Determinar el mínimo número de colores necesario para pintar las diagonales de un polígono regular de $2022$ lados si se necesita que cuando dos diagonales se intersecten en un punto interior al polígono, las dos diagonales tengan distinto color. (Nota: Llamamos diagonal de un polígono al segmento que une cualesquiera dos vértices del polígono que no pertenecen al mismo lado.)