Dado un triángulo acutángulo $ABC$ , sea $P$ un punto arbitrario en el segmento $BC$ . Una línea que pasa por $P$ y es perpendicular a $AC$ interseca a $AB$ en $P_b$ . Una línea que pasa por $P$ y es perpendicular a $AB$ interseca a $AC$ en $P_c$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $AP_bP_c$ pasa por un punto fijo distinto de $A$ cuando $P$ varía en el segmento $BC$ .

Sea $ABC$ un triángulo escaleno con $I$ su incentro. La circunferencia inscrita toca a $BC$ , $CA$ , $AB$ en $D$ , $E$ , $F$ , respectivamente. $Y$ , $Z$ son los puntos medios de $DF$ , $DE$ respectivamente, y $S$ , $V$ son las intersecciones de las líneas $YZ$ y $BC$ , $AD$ , respectivamente. $T$ es la segunda intersección de $\odot(ABC)$ y $AS$ . $K$ es el pie de la perpendicular desde $I$ a $AT$ . Demuestre que $KV$ es paralela a $DT$ .

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que: $\bullet$ $f(x)<2$ para todo $x\in (0,1)$ ; $\bullet$ para todos los números reales $x,y$ tenemos: $$max\{f(x+y),f(x-y)\} = f(x)+f(y)$$

Sea $k\geqslant 2$ un entero, y $a,b$ números reales. Demuestre que $a-b$ es un entero divisible por $k$ si y solo si para cada entero positivo $n$ $$\lfloor an \rfloor \equiv \lfloor bn \rfloor \ (mod \ k)$$

Sea $P(x)$ un polinomio no nulo con coeficiente real tal que $P(0)=0$. Pruebe que para cualquier número real positivo $M$ existe un entero positivo $d$ de modo que para cualquier polinomio mónico $Q(x)$ con grado al menos $d$ el número de enteros $k$ de modo que $|P(Q(k))| \le M$ es a lo sumo igual al grado de $Q$.

Sea $n$ un entero positivo. Considere todas las cadenas binarias de longitud $n$. Decimos que dos de estas cadenas son vecinas si difieren en exactamente 1 dígito. Hemos coloreado $m$ cadenas. En cada momento, podemos colorear cualquier cadena sin colorear que sea vecina con al menos 2 cadenas coloreadas. Después de un tiempo, todas las cadenas están coloreadas. Encuentre el valor mínimo posible de $m$.

A) Sean $x,y$ dos números complejos en el círculo unitario de modo que: $\frac{\pi }{3} \le \arg (x)-\arg (y) \le \frac{5 \pi }{3}$ Pruebe que para cualquier $z \in \mathbb{C}$ tenemos: $|z|+|z-x|+|z-y| \ge |zx-y|$ B) Sean $x,y$ dos números complejos de modo que: $\frac{\pi }{3} \le \arg (x)-\arg (y) \le \frac{2 \pi }{3}$ Pruebe que para cualquier $z \in \mathbb{C}$ tenemos: $|z|+|z-y|+|z-x| \ge | \frac{\sqrt{3}}{2} x +(y-\frac{x}{2})i|$

Encuentre todas las funciones $f: \mathbb{R}^{\ge 0} \to \mathbb{R}^{\ge 0}$ tal que: $f(x^3+xf(xy))=f(xy)+x^2f(x+y) \forall x,y \in \mathbb{R}^{\ge 0}$

Para números reales positivos $a,b,c$ tales que $ab+ac+bc=1$ pruebe que: $\prod\limits_{cyc} (\sqrt{bc}+\frac{1}{2a+\sqrt{bc}}) \ge 8abc$

Demuestre que para cada número natural $m$ , existe un número natural $N$ tal que para cada $b$ que $2\leq b\leq1389$ la suma de los dígitos de $N$ en base $b$ es mayor que $m$ .