Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1987 Problema 10
Sean $a,b,c$ números enteros tales que $(a+b+c) \mid (a^{2}+b^{2}+c^{2})$ . Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $(a+b+c) \mid (a^{n}+b^{n}+c^{n})$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1987 Problema 9
Demuestre que para todos los números reales $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ tenemos\n\[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n ij \cos {(\alpha_i - \alpha_j )} \geq 0. \]
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1987 Problema 8
Sea $ABCD$ un cuadrado y $a$ la longitud de sus lados. Los segmentos $AE$ y $CF$ son perpendiculares al plano del cuadrado en el mismo semi-espacio y tienen la longitud $AE=a$ , $CF=b$ donde $a<b<a\sqrt 3$ . Si $K$ denota el conjunto de los puntos interiores del cuadrado $ABCD$ determine $\min_{M\in K} \left( \max ( EM, FM ) \right) $ y $\max_{M\in K} \left( \min (EM,FM) \right)$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1987 Problema 7
Determine todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ divide a $3^n - 2^n$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1987 Problema 6
El plano está cubierto con una red de hexágonos regulares congruentes y disjuntos. Demuestre que no puede existir un cuadrado que tenga sus cuatro vértices en los vértices de los hexágonos.
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1987 Problema 5
Sea $A$ el conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$ , $n\geq 2$ . Encuentre el menor número $n$ para el cual existen permutaciones $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ del conjunto $A$ con la propiedad:\n\[ \sum_{i=1}^n \alpha(i) \beta (i) = \dfrac {19}{10} \sum^n_{i=1} \gamma(i)\delta(i) . \]
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1987 Problema 4
Sea $ P(X) = a_{n}X^{n} + a_{n - 1}X^{n - 1} + \ldots + a_{1}X + a_{0}$ un polinomio real de grado $ n$ . Suponga que $ n$ es un número par y:\na) $ a_{0} > 0$ , $ a_{n} > 0$ ;\nb) $ a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \ldots + a_{n - 1}^{2}\leq\frac {4\min(a_{0}^{2} , a_{n}^{2})}{n - 1}$ .\nDemuestre que $ P(x)\geq 0$ para todos los valores reales $ x$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1987 Problema 3
Sea $A$ el conjunto $A = \{ 1,2, \ldots, n\}$ . Determina el número máximo de elementos de un subconjunto $B\subset A$ tal que para todos los elementos $x,y$ de $B$ , $x+y$ no puede ser divisible por $x-y$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1987 Problema 2
Encuentra todos los enteros positivos $A$ que pueden ser representados en la forma:\n\[ A = \left ( m - \dfrac 1n \right) \left( n - \dfrac 1p \right) \left( p - \dfrac 1m \right) \]\ndonde $m\geq n\geq p \geq 1$ son números enteros.
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1987 Problema 1
Sean $a,b,c$ números reales distintos tales que $a+b+c>0$. Sea $M$ el conjunto de matrices de $3\times 3$ con la propiedad de que cada fila y cada columna contienen todos los números dados $a,b,c$. Encuentre $\{\max \{ \det A \mid A \in M \}$ y el número de matrices que realizan el valor máximo.