Una secuencia $ \left( x_n\right)_{n\ge 0} $ de números reales satisface $ x_0>1=x_{n+1}\left( x_n-\left\lfloor x_n\right\rfloor\right) , $ para cada $ n\ge 1. $ Demuestre que si $ \left( x_n\right)_{n\ge 0} $ es periódica, entonces $ x_0 $ es una raíz de una ecuación cuadrática. Estudie la conversa.

Para cualquier conjunto $ A $ decimos que dos funciones $ f,g:A\longrightarrow A $ son similares, si existe una biyección $ h:A\longrightarrow A $ tal que $ f\circ h=h\circ g. $ a) Si $ A $ tiene tres elementos, construya un número finito, arbitrario de funciones, teniendo como dominio y codominio $ A, $ que son dos a dos similares, y toda otra función con el mismo dominio y codominio que las determinadas es similar a, al menos, una de ellas. b) Para $ A=\mathbb{R} , $ demuestre que las funciones $ \sin $ y $ -\sin $ son similares.

Sean $ P,Q,R $ polinomios de grado $ 3 $ con coeficientes reales tales que $ P(x)\le Q(x)\le R(x) , $ para todo $ x $ real. Suponga que $ P-R $ admite una raíz. Demuestre que $ Q=kP+(1-k)R, $ para algún número real $ k\in [0,1] . $ ¿Qué sucede si $ P,Q,R $ son de grado $ 4, $ bajo las mismas circunstancias?

Demuestre que no hay ningún poliedro cuya proyección sobre el plano sea un triángulo no degenerado.

Demuestre que no hay un cuadrado con sus cuatro vértices en cuatro círculos concéntricos cuyos radios forman una progresión aritmética.

Las diagonales $ AC $ y $ BD $ de un cuadrilátero convexo $ ABCD $ se intersecan en un punto $ O. $ Demuestre que si los triángulos $ OAB,OBC,OCD $ y $ ODA $ tienen el mismo perímetro, entonces $ ABCD $ es un rombo. ¿Qué sucede si $ O $ es algún otro punto dentro del cuadrilátero?

Sea $ P[X,Y] $ un polinomio de grado a lo sumo $ 2 .$ Si $ A,B,C,A',B',C' $ son raíces distintas de $ P $ tales que $ A,B,C $ no son colineales y $ A',B',C' $ se encuentran en las líneas $ BC,CA, $ respectivamente, $ AB, $ en la representación plana de estos puntos, demuestre que $ P=0. $

Suponga que $ k,l $ son números naturales tales que $ \gcd (11m-1,k)=\gcd (11m-1, l) , $ para cualquier número natural $ m. $ Demuestre que existe un entero $ n $ tal que $ k=11^nl. $

Demostrar que para cada partición de $ \{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9\} $ en dos subconjuntos, uno de los subconjuntos contiene tres números tales que la suma de dos de ellos es igual al doble del tercero.

Sea $P(X,Y)=X^2+2aXY+Y^2$ un polinomio real donde $|a|\geq 1$ . Para un entero positivo dado $n$ , $n\geq 2$ considere el sistema de ecuaciones:\n\[ P(x_1,x_2) = P(x_2,x_3) = \ldots = P(x_{n-1},x_n) = P(x_n,x_1) = 0 . \]\nLlamamos a dos soluciones $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ y $(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ del sistema equivalentes si existe un número real $\lambda \neq 0$ , $x_1=\lambda y_1$ , $\ldots$ , $x_n= \lambda y_n$ . ¿Cuántas soluciones no equivalentes tiene el sistema?