Suponga que $a,b,c\in \mathbb R^+$ . Demuestre que : \[\left(\frac ab+\frac bc+\frac ca\right)^2\geq (a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\]

Suponga que un consejo consta de cinco miembros y que las decisiones en este consejo se toman de acuerdo con un método basado en el voto positivo o negativo de sus miembros. El método utilizado por este consejo tiene las siguientes dos propiedades: $\bullet$ Ascensión: Si la presunta decisión final es favorable y uno de los miembros oponentes cambia su voto, la decisión final seguirá siendo favorable. $\bullet$ Simetría: Si todos los miembros cambian su voto, la decisión final también cambiará. Demuestre que el consejo utiliza un método de toma de decisiones ponderado; es decir, se pueden asignar pesos no negativos $\omega _1 , \omega _2 , \cdots ,\omega _5$ a los miembros del consejo de modo que la decisión final sea favorable si y solo si la suma de los pesos de aquellos a favor es mayor que la suma de los pesos del resto. Observación. La declaración no es verdadera en absoluto si reemplaza $5$ con un $n$ arbitrario. De hecho, encontrar un contraejemplo para $n=6$ , apareció en la segunda ronda de la MO de Irán del mismo año P6

Sean $AD,BF,CE$ las alturas del triángulo $ABC$ . $Q$ es un punto en $EF$ tal que $QF=DE$ y $F$ está entre $E,Q$ . $P$ es un punto en $EF$ tal que $EP=DF$ y $E$ está entre $P,F$ . La bisectriz perpendicular de $DQ$ se interseca con $AB$ en $X$ y la bisectriz perpendicular de $DP$ se interseca con $AC$ en $Y$ . Demuestre que el punto medio de $BC$ se encuentra en $XY$ .

Suponga que una secuencia $a_1,a_2,\ldots$ de números reales positivos satisface \[a_{k+1}\geq\frac{ka_k}{a_k^2+(k-1)}\] para cada entero positivo $k$ . Demuestre que $a_1+a_2+\ldots+a_n\geq n$ para cada $n\geq2$ .

Sea $p \neq 13$ un número primo de la forma $8k+5$ tal que $39$ es un no residuo cuadrático módulo $p$ . Demostrar que la ecuación $$x_1^4+x_2^4+x_3^4+x_4^4 \equiv 0 \pmod p$$ tiene una solución en enteros tal que $p\nmid x_1x_2x_3x_4$ .

Sea $ABC$ un triángulo arbitrario y $O$ es el circuncentro de $\triangle {ABC}$ . Los puntos $X,Y$ se encuentran en $AB,AC$ , respectivamente, de modo que la reflexión de $BC$ WRT $XY$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle {AXY}$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $BOC$ .

Se ha asignado una función real a cada celda de una tabla de $n \times n$. Demuestre que se puede asignar una función a cada fila y a cada columna de esta tabla de modo que la función asignada a cada celda sea equivalente a la combinación de funciones asignadas a la fila y a la columna que la contiene.

Tenemos un triángulo isogonal $ABC$ tal que $BC=AB$. Tomar un $P$ aleatorio en la altitud de $B$ a $AC$. El círculo $(ABP)$ interseca a $AC$ una segunda vez en $M$. Tomar $N$ tal que está en el segmento $AC$ y $AM=NC$ y $M \neq N$. La segunda intersección de $NP$ y el círculo $(APB)$ es $X$, ($X \neq P$) y la segunda intersección de $AB$ y el círculo $(APN)$ es $Y$, ($Y \neq A$). La tangente desde $A$ al círculo $(APN)$ interseca la altitud desde $B$ en $Z$. Demuestre que $CZ$ es tangente al círculo $(PXY)$.

Defina $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tal que $a_1=2$ y $$a_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \times a_{n}$$ Pruebe que existe un número infinito de $n$ tal que $\frac{a_1a_2 \ldots a_n}{n+1}$ es un cuadrado de un entero.

Hay una tabla de $n*n$ con algunas celdas unitarias coloreadas de negro y las otras son blancas. En cada paso, Amin toma una $fila$ con exactamente una celda negra en ella, y colorea todas las celdas en la $columna$ de esa celda negra de rojo. Mientras que Ali, toma una $columna$ con exactamente una celda negra en ella, y colorea todas las celdas en la $fila$ de esa celda negra de rojo. Pruebe que Amin puede colorear todas las celdas de rojo, si y solo si Ali puede hacerlo.