Un triángulo de tipo $n$ donde $n\geqslant 2$ está formado por las celdas de un tablero de $(2n+1)\times(2n+1)$, situado bajo ambas diagonales principales. Por ejemplo, un triángulo de tipo $3$ se ve así: https://i.ibb.co/k4fmwWY/Screenshot-2024-07-31-153932.png Determinar la longitud máxima de una secuencia con celdas distintas por parejas en un triángulo de tipo $n$, tal que, comenzando con la segunda, cualquier celda de la secuencia tiene un lado en común con la anterior.

Sea $ABC$ un triángulo. Un círculo arbitrario que pasa por los puntos $B,C$ interseca los lados $AC,AB$ por segunda vez en $D,E$ respectivamente. La línea $BD$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $AEC$ en $P$ y $Q$ y la línea $CE$ interseca la circunferencia circunscrita del triángulo $ABD$ en $R$ y $S$ tal que $P$ está situado en el segmento $BD$ y $R$ está en el segmento $CE.$ Probar que: Los puntos $P,Q,R$ y $S$ son concíclicos. El triángulo $APQ$ es isósceles.

Determinar todos los enteros positivos $a,b,c,d,e,f$ que satisfacen la siguiente condición: para cualesquiera dos de ellos, $x$ e $y,$ dos de los números restantes, $z$ y $t,$ satisfacen $x/y=z/t.$

Sea $M$ el punto medio del lado $AD$ del cuadrado $ABCD.$ Considerar los triángulos equiláteros $DFM$ y $BFE$ tales que $F$ está en el interior de $ABCD$ y las líneas $EF$ y $BC$ son concurrentes. Denotar por $P$ el punto medio de $ME.$ Probar que: El punto $P$ está en la línea $AC.$ La semirrecta $PM$ es la bisectriz del ángulo $APF.$

Encontrar todos los enteros positivos $a$ y $b$ tales que $(7^a-5^b)/8$ es un número primo.

Sea $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ una función diferenciable tal que $f(0)=f(1)=0$ y $|f'(x)|\le 1,\ \forall x\in [0,1]$ . Demostrar que: $$\left|\int_0 ^1f(t)dt\right|<\frac{1}{4}$$

Sea $G$ un grupo de $n$ elementos. Encontrar todas las funciones $f:G\rightarrow \mathbb{N}^*$ tales que: (a) $f(x)=1$ si y solo si $x$ es la identidad de $G$ ; (b) $f(x^k)=\frac{f(x)}{(f(x),k)}$ para cualquier divisor $k$ de $n$ , donde $(r,s)$ representa el máximo común divisor de los enteros positivos $r$ y $s$ .

Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo de 9 elementos. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: (a) Para cualquier $x\in A\setminus\{0\}$ existen dos números $a\in \{-1,0,1\}$ y $b\in \{-1,1\}$ tales que $x^2+ax+b=0$ . (b) $(A,+,\cdot)$ es un campo.

Sean $a,b,c$ tres números reales positivos distintos. Evaluar: $$\lim_{t\to \infty} \int_0^t \frac{1}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)(x^2+c^2)}dx$$

Una función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ tiene la propiedad $ \mathcal{F} , $ si para cualquier número real $ a, $ existe un $ b<a $ tal que $ f(x)\le f(a), $ para todo $ x\in (b,a) . $ a) Dar un ejemplo de una función con la propiedad $ \mathcal{F} $ que no es monótona en $ \mathbb{R} . $ b) Demostrar que una función continua que tiene la propiedad $ \mathcal{F} $ es no decreciente.