Suponga que $H$ y $O$ son el ortocentro y el circuncentro del triángulo $ABC$ . $\omega$ es la circunferencia circunscrita de $ABC$ . $AO$ se interseca con $\omega$ en $A_1$ . $A_1H$ se interseca con $\omega$ en $A'$ y $A''$ es el punto de intersección de $\omega$ y $AH$ . Definimos los puntos $B',\ B'',\ C'$ y $C''$ de manera similar. Demuestre que $A'A'',B'B''$ y $C'C''$ son concurrentes en un punto sobre la línea de Euler del triángulo $ABC$ .

Suponga que en el triángulo $ABC$ la circunferencia inscrita toca el lado $BC$ en $P$ y $\angle APB=\alpha$ . Demuestre que : \[\frac1{p-b}-\frac1{p-c}=\frac2{rtg\alpha}\]

Demuestre que en un triángulo acutángulo ABC si $r$ es el inradio y $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita entonces: \[a^2+b^2+c^2\geq 4(R+r)^2\]

Suponga que $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ . Suponga que $\frac{S(OAB)+S(OAC)}2=S(OBC)$ . Demuestre que la distancia de $O$ (circuncentro) al eje radical de la circunferencia circunscrita y la circunferencia de los nueve puntos es \[\frac {a^2}{\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}}\]

Desde cada vértice del triángulo $ABC$ dibujamos 3 líneas paralelas arbitrarias, y desde cada vértice dibujamos una perpendicular a estas líneas. Hay 3 rectángulos tales que una de sus diagonales es el lado del triángulo. Dibujamos sus otras diagonales y las llamamos $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\ell_3$ . a) Demuestre que $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\ell_3$ son concurrentes en un punto $P$ . b) Encuentre el lugar geométrico de $P$ al mover las 3 líneas arbitrarias.

Suponga que $A\subseteq \mathbb R^m$ es cerrado y no vacío. Sea $f:A\to A$ una función de Lipschitz con constante menor que 1. (es decir, existe $c<1$ tal que $|f(x)-f(y)|<c|x-y|,\ \forall x,y \in A)$ . Demuestre que existe un único punto $x\in A$ tal que $f(x)=x$ .

Suponga que $a,b,c \in \mathbb R^+$ y \[\frac1{a^2+1}+\frac1{b^2+1}+\frac1{c^2+1}=2\] Demuestre que $ab+ac+bc\leq \frac32$

Suponga que $P,Q\in \mathbb R[x]$ tal que $deg\ P=deg\ Q$ y $PQ'-QP'$ no tiene raíces reales. Demuestre que para cada $\lambda \in \mathbb R$ el número de raíces reales de $P$ y $\lambda P+(1-\lambda)Q$ son iguales.

Encuentre todos los $\alpha>0$ y $\beta>0$ tales que para cada $(x_1,\dots,x_n)$ y $(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb {R^+}^n$: \[(\sum x_i^\alpha)(\sum y_i^\beta)\geq\sum x_iy_i\]

Suponga que $\{x_n\}$ es una secuencia decreciente tal que $\displaystyle\lim_{n \rightarrow\infty}x_n=0$ . Demuestre que $\sum(-1)^nx_n$ es convergente