Sea un número natural $ n, $ y dos matrices $ A,B\in\mathcal{M}_n\left(\mathbb{C}\right) $ con la propiedad de que $$ AB^2=A-B. $$ a) Mostrar que la matriz $ I_n+B $ es inversible. b) Mostrar que $ AB=BA. $

Sean $ A,B\in\mathcal{M} \left( \mathbb{R} \right) $ que satisfacen $ AB=O_3. $ Demostrar que: a) La función $ f:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C} $ definida como $ f(x)=\det \left( A^2+B^2+xBA \right) $ es un polinomio, de grado a lo sumo $ 2. $ b) $ \det\left( A^2+B^2 \right)\ge 0. $

Considerar la secuencia $ \left( x_n \right)_{n\ge 1} $ teniendo $ x_1>1 $ y satisfaciendo la ecuación $$ x_1+x_2+\cdots +x_{n+1} =x_1x_2\cdots x_{n+1} ,\quad\forall n\in\mathbb{N} . $$ Mostrar que esta secuencia es convergente y encontrar su límite.

Para todos los números naturales impares $ n, $ demostrar que $$ \left|\sum_{j=0}^{n-1} (a+ib)^j\right|\in\mathbb{Q} , $$ donde $ a,b\in\mathbb{Q} $ son dos números tales que $ 1=a^2+b^2. $

Sea una secuencia de números naturales $ \left( a_n \right)_{n\ge 1} $ tal que $ a_n\le n $ para todos los números naturales $ n, $ y $$ \sum_{j=1}^{k-1} \cos \frac{\pi a_j}{k} =0, $$ para todo $ k\ge 2. $ a) Encontrar $ a_2. $ b) Determinar esta secuencia.

a) Resolver en $ \mathbb{R} $ la ecuación $ 2^x=x+1. $ b) Si una función $ f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} $ tiene la propiedad de que $$ (f\circ f)(x)=2^x-1,\quad\forall x\in\mathbb{R} , $$ entonces $ f(0)+f(1)=1. $

Sea $ f:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ una función con la propiedad de que $$ |f(x)-f(y)|\le |\sin x-\sin y|,$$ para todo $x,y \in [0,\infty).$ Demostrar que $f$ es acotada y periódica, y la función $g:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $g(x)=x+f(x)$ es monótona.

Una secuencia $ \left( a_n \right)_{n\ge 1} $ tiene la propiedad de que es no decreciente, no constante y, para cada natural $ n, a_n\big| n^2. $ Mostrar que al menos una de las siguientes afirmaciones es verdadera. $ \text{(i)} $ Existe un índice $ n_1 $ tal que $ a_n=n, $ para todo $ n\ge n_1. $ $ \text{(ii)} $ Existe un índice $ n_2 $ tal que $ a_n=n^2, $ para todo $ n\ge n_2. $

Un círculo que pasa por los vértices $ B,C $ de un triángulo $ ABC, $ corta los segmentos $ AB,AC $ (extremos excluidos) en $ N, $ respectivamente, $ M. $ Considerar el punto $ P $ en el segmento $ MN $ y $ Q $ en el segmento $ BC $ (extremos excluidos en ambos segmentos) tal que los ángulos $ \angle BAC,\angle PAQ $ tienen la misma bisectriz. Mostrar que: a) $ \frac{PM}{PN} =\frac{QB}{QC} . $ b) Los puntos medios de los segmentos $ BM,CN,PQ $ son colineales.

Si $ a,b,c>0, $ entonces $ \sum_{\text{cyc}} \frac{a}{2a+b+c}\le 3/4. $