Un avión quiere ir desde un punto en el ecuador, y en cada momento irá hacia el noreste con velocidad $v$ . Suponga que el radio de la tierra es $R$ . a) ¿Llegará el avión al polo norte? Si es así, ¿cuánto tardará en llegar al polo norte? b) ¿El avión rotará un número finito de veces alrededor del polo norte? Si es así, ¿cuántas veces?

a) Año 1872 Texas 3 mineros de oro encontraron una pieza de oro. Tienen una moneda que con posibilidad de $\frac 12$ saldrá cada lado, y quieren darle la pieza de oro a uno de ellos dependiendo de cómo salga la moneda. Diseñe un método justo (significa que cada uno de los 3 mineros ganará la pieza de oro con posibilidad de $\frac 13$ ) para los mineros. b) Año 2005, facultad de Matemáticas, Universidad Sharif de Tecnología Suponga que $0<\alpha<1$ y queremos encontrar una forma para las personas llamadas $A$ y $B$ de que la posibilidad de ganar de $A$ sea $\alpha$ . ¿Es posible encontrar esta forma? c) Año 2005 Ahvaz, Estadio Takhti Dos equipos de fútbol tienen un concurso. Y queremos elegir el lado de cada jugador con la moneda, pero no sabemos si nuestra moneda es justa o no. Encuentre una forma de averiguar si la moneda es justa o no. d) Año 2005, verano En la Olimpiada Matemática Nacional en Irán. Cada estudiante tiene una moneda y debe encontrar una forma de que la posibilidad de que la moneda sea COLA sea $\alpha$ o no. Encuentre una forma para el estudiante.

$f(n)$ es el número mínimo tal que existe un $f(n)-$mino que contiene cada $n-$mino. Demuestre que $10000\leq f(1384)\leq960000$ . Encuentre algún límite para $f(n)$

$n$ vectores están en el plano. Podemos mover cada vector hacia adelante y hacia atrás en la línea en la que se encuentra el vector. Si hay 2 vectores cuyos puntos finales coinciden, podemos omitirlos y reemplazarlos con su suma (si su suma es distinta de cero). Suponga que con estas operaciones con 2 métodos diferentes llegamos a un vector. Demuestre que estos vectores están en una línea común

Llamamos al conjunto $A\in \mathbb R^n$ CN si y sólo si para cada $f:A\to A$ continua existe algún $x\in A$ tal que $f(x)=x$ . a) Ejemplo: Sabemos que $A = \{ x\in\mathbb R^n | |x|\leq 1 \}$ es CN. b) El círculo no es CN. ¿Cuál de los siguientes conjuntos es CN? 1) $A=\{x\in\mathbb R^3| |x|=1\}$ 2) La cruz $\{(x,y)\in\mathbb R^2|xy=0,\ |x|+|y|\leq1\}$ 3) Gráfico de la función $f:[0,1]\to \mathbb R$ definida por \[f(x)=\sin\frac 1x\ \mbox{si}\ x\neq0,\ f(0)=0\]

Sean $a,b,c\in \mathbb N$ tales que $a,b\neq c$ . Demuestre que existen infinitos números primos $p$ para los cuales existe $n\in\mathbb N$ tal que $p|a^n+b^n-c^n$ .

$k$ es un entero. Definimos la secuencia $\{a_n\}_{n=0}^{\infty}$ de la siguiente manera: \[a_0=0,\ \ \ a_1=1,\ \ \ a_n=2ka_{n-1}-(k^2+1)a_{n-2}\ \ (n \geq 2)\] $p$ es un número primo tal que $p\equiv 3(\mbox{mod}\ 4)$ a) Demuestre que $a_{n+p^2-1}\equiv a_n(\mbox{mod}\ p)$ b) Demuestre que $a_{n+p^3-p}\equiv a_n(\mbox{mod}\ p^2)$

$p(x)$ es un polinomio irreducible en $\mathbb Q[x]$ tal que $\mbox{deg}\ p$ es impar. $q(x),r(x)$ son polinomios con coeficientes racionales tal que $p(x)|q(x)^2+q(x).r(x)+r(x)^2$ . Demuestre que \[p(x)^2|q(x)^2+q(x).r(x)+r(x)^2\]

Sea $a\in\mathbb N$ y $m=a^2+a+1$ . Encuentre el número de $0\leq x\leq m$ tal que: \[x^3\equiv1(\mbox{mod}\ m)\]

Encuentre todos los $n,p,q\in \mathbb N$ tales que: \[2^n+n^2=3^p7^q\]