Determine la longitud máxima $L$ de una secuencia $a_1,\dots,a_L$ de enteros positivos que satisfaga ambas propiedades siguientes: cada término en la secuencia es menor o igual que $2^{2023}$, y no existe una subsecuencia consecutiva $a_i,a_{i+1},\dots,a_j$ (donde $1\le i\le j\le L$ ) con una elección de signos $s_i,s_{i+1},\dots,s_j\in\{1,-1\}$ para la cual \[s_ia_i+s_{i+1}a_{i+1}+\dots+s_ja_j=0.\]

Determine todos los pares ordenados $(a,p)$ de enteros positivos, con $p$ primo, tales que $p^a+a^4$ es un cuadrado perfecto.

Sean $r,g,b$ enteros no negativos y $\Gamma$ un grafo conexo con $r+g+b+1$ vértices. Sus aristas están coloreadas en rojo, verde y azul. Resultó que $\Gamma $ contiene un árbol de expansión con exactamente $r$ aristas rojas. Un árbol de expansión con exactamente $g$ aristas verdes. Un árbol de expansión con exactamente $b$ aristas azules. Pruebe que $\Gamma$ contiene un árbol de expansión con exactamente $r$ aristas rojas, $g$ aristas verdes y $b$ aristas azules.

Sean $P,Q,R,S$ polinomios no constantes con coeficientes reales, tales que $P(Q(x))=R(S(x)) $ y el grado de $P$ es múltiplo del grado de $R. $ Pruebe que existe un polinomio $T$ con coeficientes reales tal que $$\displaystyle P(x)=R(T(x))$$

Se da un triángulo acutángulo $ABC$ y sean $H$ y $O$ su ortocentro y circuncentro respectivamente. Sea $K$ el punto medio de $AH$ y $\ell$ sea una línea que pasa por $O. $ Sean $P$ y $Q$ las proyecciones de $B$ y $C$ sobre $\ell. $ Pruebe que $$KP+KQ\ge BC$$

Sea $n\geq 2$ un entero y sea $f$ un polinomio de $4n$ variables con coeficientes reales. Asuma que, para cualquier $2n$ puntos $(x_1,y_1),\dots,(x_{2n},y_{2n})$ en el plano cartesiano, $f(x_1,y_1,\dots,x_{2n},y_{2n})=0$ si y sólo si los puntos forman los vértices de un $2n$ - gono regular en algún orden, o son todos iguales. Determine el grado posible más pequeño de $f$ . (Note, por ejemplo, que el grado del polinomio $$g(x,y)=4x^3y^4+yx+x-2$$ es $7$ porque $7=3+4$ . )

Fije un entero $n \geq 3$ . Sea $\mathcal{S}$ un conjunto de $n$ puntos en el plano, no tres de los cuales son colineales. Dados diferentes puntos $A,B,C$ en $\mathcal{S}$ , el triángulo $ABC$ es bueno para $AB$ si $[ABC] \leq [ABX]$ para todo $X$ en $\mathcal{S}$ diferente de $A$ y $B$ . (Note que para un segmento $AB$ podría haber varios triángulos buenos). Un triángulo es hermoso si sus vértices están todos en $\mathcal{S}$ y es bueno para al menos dos de sus lados. Pruebe que hay al menos $\frac{1}{2}(n-1)$ triángulos hermosos.

Determine todos los números primos $p$ y todos los enteros positivos $x$ e $y$ que satisfacen $$x^3+y^3=p(xy+p).$$

Sea $n\geqslant 2$ un entero y $A$ un conjunto de $n$ puntos en el plano. Encontrar todos los enteros $1\leqslant k\leqslant n-1$ con la siguiente propiedad: cualesquiera dos círculos $C_1$ y $C_2$ en el plano tales que $A\cap\text{Int}(C_1)\neq A\cap\text{Int}(C_2)$ y $|A\cap\text{Int}(C_1)|=|A\cap\text{Int}(C_2)|=k$ tienen al menos un punto en común.

Versión 1. Encontrar todos los primos $p$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $\frac{p+1}{2}$ es un número primo. (ii) Hay al menos tres enteros positivos distintos $n$ para los cuales $\frac{p^2+n}{p+n^2}$ es un entero. Versión 2. Sea $p \neq 5$ un número primo tal que $\frac{p+1}{2}$ también es un primo. Suponga que existen enteros positivos $a <b$ tales que $\frac{p^2+a}{p+a^2}$ y $\frac{p^2+b}{p+b^2}$ son enteros. Mostrar que $b=(a-1)^2+1$