En el siguiente diagrama, sea $ABCD$ un cuadrado y sean $M,N,P$ y $Q$ los puntos medios de sus lados. Demostrar que\n\[S_{A'B'C'D'} = \frac 15 S_{ABCD}.\]\n[asy]\nimport graph; size(200); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; pen qqttzz = rgb(0,0.2,0.6); pen qqzzff = rgb(0,0.6,1);\ndraw((0,4)--(4,4),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((4,4)--(4,0),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((4,0)--(0,0),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((0,0)--(0,4),qqttzz+linewidth(1.6pt)); draw((0,4)--(2,0),qqzzff+linewidth(1.2pt)); draw((2,4)--(4,0),qqzzff+linewidth(1.2pt)); draw((0,2)--(4,4),qqzzff+linewidth(1.2pt)); draw((0,0)--(4,2),qqzzff+linewidth(1.2pt);\ndot((0,4),ds); label('$A$', (0.07,4.12), NE*lsf); dot((0,0),ds); label('$D$', (-0.27,-0.37), NE*lsf); dot((4,0),ds); label('$C$', (4.14,-0.39), NE*lsf); dot((4,4),ds); label('$B$', (4.08,4.12), NE*lsf); dot((2,4),ds); label('$M$', (2.08,4.12), NE*lsf); dot((4,2),ds); label('$N$', (4.2,1.98), NE*lsf); dot((2,0),ds); label('$P$', (1.99,-0.49), NE*lsf); dot((0,2),ds); label('$Q$', (-0.48,1.9), NE*lsf); dot((0.8,2.4),ds); label('$A'$', (0.81,2.61), NE*lsf); dot((2.4,3.2),ds); label('$B'$', (2.46,3.47), NE*lsf); dot((3.2,1.6),ds); label('$C'$', (3.22,1.9), NE*lsf); dot((1.6,0.8),ds); label('$D'$', (1.14,0.79), NE*lsf); clip((-4.44,-11.2)--(-4.44,6.41)--(16.48,6.41)--(16.48,-11.2)--cycle);\n[/asy] [ $S_{X}$ denota el área de $X.$ ]

Sea $f$ una función real definida en el intervalo $[0, +\infty )$ y suponga que existen dos funciones $f', f''$ en el intervalo $[0, +\infty )$ tal que\n\[f''(x)=\frac{1}{x^2+f'(x)^2 +1} \qquad \text{y} \qquad f(0)=f'(0)=0.\]\nSea $g$ una función para la cual\n\[g(0)=0 \qquad \text{y} \qquad g(x)=\frac{f(x)}{x}.\]\nDemostrar que $g$ es acotada.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones en enteros positivos\n\[\left\{\begin{array}{cc}a^3-b^3-c^3=3abc\\ a^2=2(b+c)\end{array}\right.\]

Nos referimos a un triángulo en $\mathbb Q^{n}$ , 3 puntos que no son colineales en $\mathbb Q^{n}$ a) Suponga que $ABC$ es un triángulo en $\mathbb Q^{n}$ . Pruebe que existe un triángulo $A'B'C'$ en $\mathbb Q^{5}$ tal que $\angle B'A'C'=\angle BAC$ . b) Encuentre un $m$ natural tal que para cada triángulo que se puede incrustar en $\mathbb Q^{n}$ se pueda incrustar en $\mathbb Q^{m}$ . c) Encuentre un triángulo que se pueda incrustar en $\mathbb Q^{n}$ y ningún triángulo similar a él se pueda incrustar en $\mathbb Q^{3}$ . d) Encuentre un $m'$ natural tal que para cada triángulo que se pueda incrustar en $\mathbb Q^{n}$ entonces existe un triángulo similar a él, que se pueda incrustar en $\mathbb Q^{m}$ . Debe probar el problema para $m=9$ y $m'=6$ para obtener la marca completa. (Mejores resultados conducen a una marca adicional.)

Tenemos un número finito de formas distintas en el plano. Un 'Kearting convexo' de estas formas es cubrir el plano con conjuntos convexos, de modo que cada conjunto consta exactamente de una de las formas, y los conjuntos se intersecan a lo sumo en la frontera. ¿En qué caso es posible el Kearting Convexo? 1) Puntos distintos finitos 2) Segmentos distintos finitos 3) Círculos distintos finitos

Suponga que $C$ es un subconjunto convexo de $\mathbb R^{d}$ . Suponga que $C_{1},C_{2},\dots,C_{n}$ son traslaciones de $C$ tales que $C_{i}\cap C\neq\emptyset$ pero $C_{i}\cap C_{j}=\emptyset$ . Pruebe que \[n\leq 3^{d}-1\] Pruebe que $3^{d}-1$ es la mejor cota. P.S. En el problema del examen se dio para $n=3$ .

Una regla de cálculo es una regla para hacer cálculos algebraicos. Esta regla tiene tres brazos, dos de ellos son estacionarios y uno puede moverse libremente a derecha e izquierda. Cada uno de los brazos tiene una graduación. La graduación de cada brazo depende de la operación algebraica que realiza la regla. Por ejemplo, la regla de abajo está diseñada para multiplicar dos números. Las graduaciones son logarítmicas. Para trabajar con la regla, (por ejemplo, para calcular $x.y$ ) debemos mover el brazo del medio de modo que la flecha al principio de su graduación se ubique sobre la $x$ en el brazo inferior. Encontramos $y$ en el brazo del medio y leeremos el número en el brazo superior. El número escrito en la regla es la respuesta. 1) Diseñe una regla para calcular $x^{y}$ . Gradúe el primer brazo ( $x$ ) e ( $y$ ) de 1 a 10. 2) Encuentre todas las reglas que hacen la multiplicación en el intervalo $[1,10]$ . 3) Pruebe que no existe una regla para calcular $x^{2}+xy+y^{2}$ , que su primer y segundo brazo estén graduados de 0 a 10.

La imagen que se muestra a continuación es una cruz con longitud 2. Si la longitud de una cruz de longitud $k$ se llama $k$ - cruz. (Cada $k$ - cruz tiene $6k+1$ cuadrados.) a) Pruebe que el espacio se puede teselar con $1$ - cruces. b) Pruebe que el espacio se puede teselar con $2$ - cruces. c) Pruebe que para $k\geq5$ el espacio no se puede teselar con $k$ - cruces.

Para $A\subset\mathbb Z$ y $a,b\in\mathbb Z$ . Definimos $aA+b: =\{ax+b|x\in A\}$ . Si $a\neq0$ entonces llamamos a $aA+b$ y $A$ conjuntos similares. En esta pregunta, el conjunto de Cantor $C$ es el número de enteros no negativos que en su representación en base 3 no hay ningún dígito $1$ . Ves que \[C=(3C)\dot\cup(3C+2)\ \ \ \ \ (1)\] (es decir, $C$ se divide en conjuntos $3C$ y $3C+2$ ) . Damos otro ejemplo $C=(3C)\dot\cup(9C+6)\dot\cup(3C+2)$ . Una representación de $C$ es una partición de $C$ en algunos conjuntos similares. es decir \[C=\bigcup_{i=1}^{n}C_{i}\ \ \ \ \ (2)\] y $C_{i}=a_{i}C+b_{i}$ son similares a $C$ . Llamamos a una representación de $C$ una representación primitiva si la unión de algunos de $C_{i}$ no es un conjunto similar y no es igual a $C$ . Considere una representación primitiva del conjunto de Cantor. Pruebe que a) $a_{i}>1$ . b) $a_{i}$ son potencias de 3. c) $a_{i}>b_{i}$ d) (1) es la única representación primitiva de $C$ .

Un líquido se mueve en una tubería infinita. Para cada molécula si está en un punto con coordenada $x$ entonces después de $t$ segundos estará en un punto de $p(t,x)$ . Pruebe que si $p(t,x)$ es un polinomio de $t,x$ entonces la velocidad de todas las moléculas es igual y constante.