En los lados $AB,BC$ y $CA$ del triángulo $ABC$ considere los puntos $Z,X$ e $Y$ respectivamente tales que \[AZ-AY=BX-BZ=CY-CX.\] Sean $P,M$ y $N$ los circuncentros de los triángulos $AYZ, BZX$ y $CXY$ respectivamente. Demuestre que los incentros del triángulo $ABC$ coinciden con los del triángulo $MNP$.

Suponga que una función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisface $|f(x+y)|\geqslant|f(x)+f(y)|$ para todos los números reales $x$ e $y$. Demuestre que la igualdad siempre se cumple. ¿Es válida la conclusión si se invierte el signo de la desigualdad?

Determine si para cualquier entero positivo $a,b,c$ existen enteros no negativos distintos $A,B,C$ que son mayores que $2019$ tales que $a+A,b+B$ y $c+C$ dividen a $ABC$.

Sean $ a,b\in (0,1) $ y una función continua $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ con la propiedad de que $$ \int_0^x f(t)dt=\int_0^{ax} f(t)dt +\int_0^{bx} f(t)dt,\quad\forall x\in [0,1] . $$\na) Demuestra que si $ a+b<1, $ entonces $ f=0. $\nb) Demuestra que si $ a+b=1, $ entonces $ f $ es constante.

Se dice que un conjunto de tres números diferentes es un conjunto aritmético si uno de los tres números es el promedio de los otros dos. Considera el conjunto $A_n = \{1, 2,..., n\}$ , donde $n $ es un entero positivo, $n\ge 3$. \na) ¿Cuántos conjuntos aritméticos hay en $A_{10}$ ?\nb) Encuentra el $n$ más pequeño , tal que el número de conjuntos aritméticos en $A_n$ es mayor que $2004$.

Encuentra el número de enteros positivos de $6$ dígitos, tales que la suma de sus dígitos es $9$, y cuatro de sus dígitos son $1,0,0,4.$

Sea $A=(a_{ij})\in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ tal que $a_{12}=a_{23}=\ldots=a_{p-1,p}=1$ y $a_{ij}=0$ para cualquier otra entrada.\na)Demuestra que $A^{p-1}\neq O_p$ y $A^p=O_p$ .\nb)Si $X\in \mathcal{M}_{p}(\mathbb{C})$ y $AX=XA$ , demuestra que existen $a_1,a_2,\ldots,a_p\in \mathbb{C}$ tales que:\n\[X=\left( \begin{array}{ccccc}\na_1 & a_2 & a_3 & \ldots & a_p \\\n0 & a_1 & a_2 & \ldots & a_{p-1} \\\n0 & 0 & a_1 & \ldots & a_{p-2} \\\n\ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\\n0 & 0 & 0 & \ldots & a_1\n\end{array} \right)\]\nc)Si existen $B,C\in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$ tales que $(I_p+A)^n=B^n+C^n,\ (\forall)n\in \mathbb{N}^*$ , demuestra que $B=O_p$ o $C=O_p$ .

Sea $\left( A,+, \cdot \right)$ un anillo que verifica las siguientes propiedades:\n(i) tiene una unidad, $1$ , y su orden es $p$ , un número primo;\n(ii) hay $B \subset A, \, |B| = p$ , tal que: para todo $x,y \in A$ , hay $b \in B$ tal que $xy = byx$ . Demuestra que $A$ es conmutativo.

Sea $ f:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ una función continua tal que $$ \int_0^1 f(x)g(x)dx =\int_0^1 f(x)dx\cdot\int_0^1 g(x)dx , $$ para todas las funciones $ g:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R} $ que son continuas y no diferenciables. Demuestra que $ f $ es constante.

Sea $n\geq 2$ y $1 \leq r \leq n$ . Considera el conjunto $S_r=(A \in M_n(\mathbb{Z}_2), rankA=r)$ . Calcula la suma $\sum_{X \in S_r}X$