Este problema es fácil pero nadie lo resolvió. El punto $A$ se mueve en una línea con velocidad $v$ y $B$ también se mueve con velocidad $v'$ tal que en todo momento la dirección del movimiento de $B$ va desde $A$ . Sabemos que $v \geq v'$ . Si conocemos el punto de inicio del camino de $A$ , entonces $B$ debe estar donde al principio para que $B$ pueda alcanzar a $A$ .

Definimos $ f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ , $ f(n) = \sum_{k = 1}^{n}(k,n)$ . a) Muestre que si $ \gcd(m,n)=1$ entonces tenemos $ f(mn)=f(m)\cdot f(n)$ ; b) Muestre que $ \sum_{d|n}f(d) = nd(n)$ .

Suponga que $f$ es un polinomio en $\mathbb{Z}[X]$ y m es un entero. Considere la secuencia $a_i$ así: $a_1=m$ y $a_{i+1}=f(a_i)$ encuentre todos los polinomios $f$ y todos los enteros $m$ tales que para cada $i$ : \[ a_i | a_{i+1}\]

$\mathbb{N}_{10}$ es la generalización de $\mathbb{N}$ tal que cada hipernúmero en $\mathbb{N}_{10}$ es algo como: $\overline{...a_2a_1a_0}$ con $a_i \in {0,1..9}$ (Note que $\overline {...000} \in \mathbb{N}_{10}$ ) También tenemos fácilmente $+,*$ en $\mathbb{N}_{10}$ . los primeros $k$ números de $a*b$ = los primeros $k$ números de (los primeros $k$ números de a * los primeros $k$ números de b). los primeros $k$ números de $a+b$ = los primeros $k$ números de (los primeros $k$ números de a + los primeros $k$ números de b). Por ejemplo $\overline {...999}+ \overline {...0001}= \overline {...000}$ Demuestre que cada polinomio mónico en $\mathbb{N}_{10}[x]$ con grado $d$ tiene a lo sumo $d^2$ raíces.

Asuma que ABC es un triángulo acutángulo y AA' es la mediana, la extendemos hasta que se encuentre con el circuncírculo en A'. sea $AP_a$ un diámetro del circuncírculo. la perpendicular de A' a $AP_a$ se encuentra con la tangente al circuncírculo en A' en el punto $X_a$ ; definimos $X_b,X_c$ similarmente. pruebe que $X_a,X_b,X_c$ están en una línea.

$f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ es inyectiva y sobreyectiva. La distancia de $X$ e $Y$ no es menor que la distancia de $f(X)$ y $f(Y)$ . Demuestre que para $A$ en el plano: \[ S(A) \geq S(f(A))\] donde $S(A)$ es el área de $A$

Sea $ABC$ un triángulo, y $O$ el centro de su circuncírculo. Sea una línea que pasa por el punto $O$ interseca las líneas $AB$ y $AC$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Denote por $S$ y $R$ los puntos medios de los segmentos $BN$ y $CM$ , respectivamente. Demuestre que $\measuredangle ROS=\measuredangle BAC$ .

$\mathbb{P}$ es un n-gono con lados $l_1 ,...,l_n$ y vértices en un círculo. Demuestre que ningún n-gono con estos lados tiene un área mayor que $\mathbb{P}$.

Suponga que $F$ es un polígono con vértices de celosía y lados paralelos al eje x y al eje y. Suponga que $S(F),P(F)$ son el área y el perímetro de $F$ . Encuentre el k más pequeño tal que: $S(F) \leq k.P(F)^2$

Asuma que tenemos una tabla n*n, la llenamos con 1,...,n tal que cada número existe exactamente n veces. Pruebe que existe una fila o columna tal que al menos $\sqrt{n}$ números diferentes están contenidos.