Considere un triángulo fijo $ABC$ tal que $AB=AC.$ Sea $M$ el punto medio de $BC.$ Sea $P$ un punto variable dentro del $\triangle ABC,$ tal que $\angle PBC=\angle PCA.$ Pruebe que la suma de las medidas de $\angle BPM$ y $\angle APC$ es constante.

Sea $\mathcal{P}$ un cuadrilátero convexo. Considere un punto $X$ dentro de $\mathcal{P}.$ Sean $M,N,P,Q$ las proyecciones de $X$ sobre los lados de $\mathcal{P}.$ Sabemos que $M,N,P,Q$ están todos en un círculo de centro $L.$ Sean $J$ y $K$ los puntos medios de las diagonales de $\mathcal{P}.$ Pruebe que $J,K$ y $L$ están en una línea.

Considere el conjunto $M=\{1,2,3,...,2020\}.$ Encuentre el entero positivo más pequeño $k$ tal que para cualquier subconjunto $A$ de $M$ con $k$ elementos, existen $3$ números distintos $a,b,c$ de $M$ tales que $a+b, b+c$ y $c+a$ están todos en $A.$

Encuentre todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos impares, tales que $n \mid 3m+1$ y $m \mid n^2+3$ .

Llamamos a un número real $x$ con $0 < x < 1$ interesante si $x$ es irracional y si en su escritura decimal los primeros cuatro decimales son iguales. Determine el menor entero positivo $n$ con la propiedad de que todo número real $t$ con $0 < t < 1$ puede escribirse como la suma de $n$ números interesantes distintos por parejas.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $A = 90^{\circ}$ y $D \in (AC)$ . Denote por $E$ la reflexión de $A$ en la línea $BD$ y $F$ el punto de intersección de $CE$ con la perpendicular en $D$ a $BC$ . Demuestre que $AF, DE$ y $BC$ son concurrentes.

Se dan los enteros $1 \le m < n$ . Considere el conjunto $M = \{ (x,y);x,y \in \mathbb{Z_{+}}, 1 \le x,y \le n \}$ . Determine el valor mínimo $v(m,n)$ con la propiedad de que para cada subconjunto $P \subseteq M$ con $|P| = v(m,n)$ existen $m+1$ elementos $A_{i}= (x_{i},y_{i}) \in P, i = 1,2,...,m+1$ , para los cuales los $x_{i}$ son todos distintos, y los $y_{i}$ también son todos distintos.

Considere un tablero de 8x8 dividido en 64 cuadrados unitarios. Llamamos diagonal en este tablero a un conjunto de 8 cuadrados con la propiedad de que en cada una de las filas y las columnas del tablero hay exactamente un cuadrado de la diagonal . Algunos de los cuadrados de este tablero están coloreados de tal manera que en cada diagonal hay exactamente dos cuadrados coloreados. Demuestre que existen dos filas o dos columnas cuyos cuadrados están todos coloreados.

Llamamos a un conjunto de puntos libre si no hay un triángulo equilátero con los vértices entre los puntos del conjunto. Demuestre que cada conjunto de $n$ puntos en el plano contiene un subconjunto libre con al menos $\sqrt{n}$ elementos.

En una fiesta hay ocho invitados, y cada participante no puede hablar con como máximo tres personas. Demuestre que podemos agrupar a las personas en cuatro parejas de tal manera que en cada pareja pueda tener lugar una conversación.