Sea $f:\mathbb{Z}\rightarrow\{ 1,2,\ldots ,n\}$ una función tal que $f(x)\not= f(y)$ , para todo $x,y\in\mathbb{Z}$ tal que $|x-y|\in\{2,3,5\}$ . Demostrar que $n\ge 4$ .

Sea $n$ un entero positivo. $S$ es el conjunto de enteros no negativos $a$ tales que $1<a<n$ y $a^{a-1}-1$ es divisible por $n$ . Demostrar que si $S=\{ n-1 \}$ entonces $n=2p$ donde $p$ es un número primo.

Sea $n\geq 4$ un entero, y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales positivos tales que \[ a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2=1 . \] Probar que la siguiente desigualdad se cumple \[ \frac{a_1}{a_2^2+1}+\cdots +\frac{a_n}{a_1^2+1} \geq \frac{4}{5}\left( a_1 \sqrt{a_1}+\cdots +a_n \sqrt{a_n} \right)^2 . \]

Sea $ABCDE$ un pentágono cíclico inscrito en un círculo de centro $O$ que tiene ángulos $\angle B=120^{\circ},\angle C=120^{\circ},$ $\angle D=130^{\circ},\angle E=100^{\circ}$ . Demostrar que las diagonales $BD$ y $CE$ se encuentran en un punto perteneciente al diámetro $AO$ .

En una conferencia internacional hay cuatro idiomas oficiales. Dos participantes cualesquiera pueden hablar en uno de estos idiomas. Demostrar que al menos $60\%$ de los participantes pueden hablar el mismo idioma.

Sean $a,b$ números reales positivos. Para cualquier entero positivo $n$ , denotamos por $x_n$ la suma de los dígitos del número $[an+b]$ en su representación decimal. Demostrar que la secuencia $(x_n)_{n\ge 1}$ contiene una subsecuencia constante.

Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios enteros de grado $p$ y $q$ respectivamente. Asumir que $P(x)$ divide a $Q(x)$ y todos sus coeficientes son $1$ o $2002$ . Demostrar que $p+1$ es un divisor de $q+1$ .

Sea $ABCD$ un cuadrado unitario. Para cualquier punto interior $M,N$ tal que la línea $MN$ no contiene un vértice del cuadrado, denotamos por $s(M,N)$ el área más pequeña de los triángulos que tienen sus vértices en el conjunto de puntos $\{ A,B,C,D,M,N\}$ . Encontrar el número más pequeño $k$ tal que $s(M,N)\le k$ , para todos los puntos $M,N$ .

Sea $\alpha$ un número real en el intervalo $(0,1).$ Pruebe que existe una secuencia $(\varepsilon_n)_{n\geq 1}$ donde cada término es $0$ o $1$ tal que la secuencia $(s_n)_{n\geq 1}$ \[s_n=\frac{\varepsilon_1}{n(n+1)}+\frac{\varepsilon_2}{(n+1)(n+2)}+...+\frac{\varepsilon_n}{(2n-1)2n}\] verifica la desigualdad \[0\leq \alpha-2ns_n\leq\frac{2}{n+1}\] para cualquier $n\geq 2.$

Sea $N\geq 4$ un entero positivo fijo. Dos jugadores, $A$ y $B$ están formando un conjunto ordenado $\{x_1,x_2,...\},$ agregando elementos alternativamente. $A$ elige $x_1$ para que sea $1$ o $-1,$ luego $B$ elige $x_2$ para que sea $2$ o $-2,$ luego $A$ elige $x_3$ para que sea $3$ o $-3,$ y así sucesivamente. (en el paso $k^{th}$, el número elegido siempre debe ser $k$ o $-k$ ) El ganador es el primer jugador en hacer que la suma de la secuencia sea un múltiplo de $N.$ Dependiendo de $N,$ averigüe, con prueba, qué jugador tiene una estrategia ganadora.