Sean $x, y, z \ge 0$ números reales. Demuestre que: \[\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}\ge xyz+\frac{3}{4}|(x-y)(y-z)(z-x)| .\] Tarea adicional Encuentre la constante real máxima $\alpha$ que puede reemplazar $\frac{3}{4}$ tal que la desigualdad siga siendo cierta para cualquier $x,y,z$ no negativos .

Considere $ \rho$ un semicírculo de diámetro $ AB$ . Una paralela a $ AB$ corta el semicírculo en $ C, D$ tal que $ AD$ separa $ B, C$ . La paralela a $ AD$ a través de $ C$ intersecta el semicírculo la segunda vez en $ E$ . Sea $ F$ el punto de intersección de las líneas $ BE$ y $ CD$ . La paralela a través de $ F$ a $ AD$ corta $ AB$ en $ P$ . Demuestre que $ PC$ es tangente a $ \rho$ .

Encuentre todos los números enteros positivos $n$ tales que: $n=[a,b]+[b,c]+[c,a]$ , donde $a,b,c$ son números enteros positivos y $[p,q]$ representa el mínimo común múltiplo de los números $p,q$ .

Considere los números del $1$ al $16$ . El juego 'solitario' consiste en agrupar arbitrariamente los números en pares y reemplazar cada par con el gran divisor primo de la suma de los dos números (es decir, de $(1,2); (3,4); (5,6);...;(15,16)$ los números que resultan son $3,7,11,5,19,23,3,31$ ) . El siguiente paso se sigue del mismo procedimiento y los juegos continúan hasta que obtenemos solo un número. ¿Cuál es el máximo número con el que termina el juego?

Sean $w_{1}$ y $w_{2}$ dos círculos que se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . Considere $w_{3}$ otro círculo que corta a $w_{1}$ en $D,E$ , y es tangente a $w_{2}$ en el punto $C$ , y también tangente a $AB$ en $F$ . Considere $G \in DE \cap AB$ , y $H$ el punto simétrico de $F$ con respecto a $G$ . Encuentre $\angle{HCF}$ .

Encuentre todos los subconjuntos no nulos $A$ del conjunto $\left\{2,3,4,5,\cdots\right\}$ tales que $\forall n\in A$ , tenemos que $n^{2}+4$ y $\left\lfloor{\sqrt{n}\right\rfloor}+1$ están ambos en $A$ .

Sean $a, b, c$ tres reales positivos tales que \[\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geq 1. \] Demuestre que \[a+b+c\geq ab+bc+ca. \]

Considere una tabla de $n$ x $n$ tal que los cuadrados unitarios se coloreen arbitrariamente en blanco y negro, tal que exactamente tres de los cuadrados colocados en las esquinas de la tabla son blancos, y el otro es negro. Demuestre que existe un cuadrado de $2$ x $2$ que contiene un número impar de cuadrados unitarios coloreados de blanco.

Resuelva en enteros positivos: $(x^{2}+2)(y^{2}+3)(z^{2}+4)=60xyz$ .

Sea $ABC$ un triángulo y $M,N,P$ puntos en $AB,BC$ , respectiva $CA$ , tal que el cuadrilátero $CPMN$ es un paralelogramo. Denote $R \in AN \cap MP$ , $S \in BP \cap MN$ , y $Q \in AN \cap BP$ . Demuestre que $[MRQS]=[NQP]$ .