Sean $ M,M'$ dos puntos conjugados en el triángulo $ ABC$ (en el sentido de que $ \angle MAB=\angle M'AC,\dots$ ) . Sean $ P,Q,R,P',Q',R'$ los pies de las perpendiculares desde $ M$ y $ M'$ a $ BC,CA,AB$ . Sea $ E=QR\cap Q'R'$ , $ F=RP\cap R'P'$ y $ G=PQ\cap P'Q'$ . Demuestre que las líneas $ AG, BF, CE$ son paralelas.

Suponga que $ ABCD$ es un cuadrilátero convexo. Sea $ F = AB\cap CD$ , $ E = AD\cap BC$ y $ T = AC\cap BD$ . Suponga que $ A,B,T,E$ se encuentran en un círculo que se interseca con $ EF$ en $ P$ . Demuestre que si $ M$ es el punto medio de $ AB$ , entonces $ \angle APM = \angle BPT$

Suponga que $ p$ es un número primo. Demuestre que la ecuación $ x^2-py^2=-1$ tiene una solución si y solo si $ p\equiv1\pmod 4$

Suponga que $ p$ es un número primo. Demuestre que para cada $ k$ , existe un $ n$ tal que: \[ \left(\begin{array}{c}n\\ \hline p\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}n+k\\ \hline p\end{array}\right)\]

Sea $\mathcal P$ el conjunto de todos los puntos en $\mathbb R^n$ con coordenadas racionales. Para los puntos $A,B \in \mathcal l{P}$ , uno puede moverse de $A$ a $B$ si la distancia $AB$ es $1$ . Demuestra que cada punto en $\mathcal l{ P}$ puede ser alcanzado desde cualquier otro punto en $\mathcal{P}$ por una secuencia finita de movimientos si y solo si $n \geq 5$ .

En un triángulo acutángulo $ABC$ sean $AD$ y $BE$ alturas, y $AP$ y $BQ$ bisectrices. Sean $I$ y $O$ los centros de la circunferencia inscrita y circunscrita, respectivamente. Demuestra que los puntos $D, E$ , e $I$ son colineales si y solo si los puntos $P, Q$ , y $O$ son colineales.

Sean $x, y, z$ números reales mayores que $1$ tales que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ . Demuestra que \[\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}\leq \sqrt{x+y+z}.\]

Sea $S = \{x_0, x_1,\dots , x_n\}$ un conjunto finito de números en el intervalo $[0, 1]$ con $x_0 = 0$ y $x_1 = 1$ . Consideramos las distancias por pares entre los números en $S$ . Si cada distancia que aparece, excepto la distancia $1$ , ocurre al menos dos veces, demuestra que todos los $x_i$ son racionales.

En un triángulo acutángulo $ABC$ , los puntos $D,E,F$ son los pies de las alturas desde $A,B,C$ , respectivamente. Una línea que pasa por $D$ paralela a $EF$ corta a $AC$ en $Q$ y a $AB$ en $R$ . Las líneas $BC$ y $EF$ se intersecan en $P$ . Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $PQR$ pasa por el punto medio de $BC$ .

Supón que $a, b, x$ son enteros positivos tales que \[x^{a+b}=a^bb\] Demuestra que $a=x$ y $b=x^x$ .