Encuentre el número máximo posible de reyes en una mesa de ajedrez de $12\times 12$ de modo que cada rey ataque exactamente a uno de los otros reyes (un rey ataca solo las casillas que tienen un punto en común con la casilla en la que se sienta).

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo circunscrito tal que $\angle ABC+\angle ADC<180^{\circ}$ y $\angle ABD+\angle ACB=\angle ACD+\angle ADB$ . Pruebe que una de las diagonales del cuadrilátero $ABCD$ pasa por el punto medio de la otra diagonal.

Pruebe que para cualquier entero positivo $n\geq 2$ tenemos que \n\[\sum_{k=2}^n \lfloor \sqrt[k]{n}\rfloor=\sum_{k=2}^n\lfloor\log_{k}n\rfloor.\]

La superficie lateral de un cilindro de revolución se divide por $n-1$ planos paralelos a la base y $m$ generatrices paralelas en $mn$ casos $( n\ge 1,m\ge 3)$ . Dos casos se llamarán casos vecinos si tienen un lado común. Demuestra que es posible escribir un número real en cada caso tal que cada número es igual a la suma de los números de los casos vecinos y no todos los números son cero si y solo si existen enteros $k,l$ tales que $n+1$ no divide a $k$ y \[ \cos \frac{2l\pi}{m}+\cos\frac{k\pi}{n+1}=\frac{1}{2}\]

Encuentra todos los enteros positivos $ k$ para los cuales la siguiente afirmación es verdadera: Si $ F(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros que satisface la condición $ 0 \leq F(c) \leq k$ para cada $ c\in \{0,1,\ldots,k + 1\}$ , entonces $ F(0) = F(1) = \ldots = F(k + 1)$ .

Encuentra todas las funciones monótonas $u:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que tienen la propiedad de que existe una función estrictamente monótona $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que \[f(x+y)=f(x)u(x)+f(y) \] para todo $x,y\in\mathbb{R}$ .

Sea $n$ un entero positivo y $\mathcal{P}_n$ sea el conjunto de polinomios enteros de la forma $a_0+a_1x+\ldots +a_nx^n$ donde $|a_i|\le 2$ para $i=0,1,\ldots ,n$ . Encuentra, para cada entero positivo $k$ , el número de elementos del conjunto $A_n(k)=\{f(k)|f\in \mathcal{P}_n \}$ .

Sea $ n \ge 3$ un número primo y $ a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$ sean enteros. Demuestra que $ a_{1}, \cdots,a_{n}$ es una progresión aritmética si y solo si existe una partición de $ \{0, 1, 2, \cdots \}$ en conjuntos $ A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ tal que \[ a_{1} + A_{1} = a_{2} + A_{2} = \cdots = a_{n} + A_{n},\] donde $ x + A$ denota el conjunto $ \{x + a \vert a \in A \} $ .

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $n\ge 2$ un entero. Denote por $\mathcal{A}$ el conjunto de $n-1$ líneas rectas que son paralelas a $BC$ y dividen la superficie $[ABC]$ en $n$ polígonos que tienen la misma área y denote por $\mathcal{P}$ el conjunto de $n-1$ líneas rectas paralelas a $BC$ que dividen la superficie $[ABC]$ en $n$ polígonos que tienen el mismo perímetro. Demuestra que la intersección $\mathcal{A} \cap \mathcal{P}$ está vacía.

Demuestra que para cualquier entero positivo $n$ el polinomio $f(x)=(x^2+x)^{2^n}+1$ no puede ser descompuesto en el producto de dos polinomios enteros no constantes.