Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1998 Problema 9
Una progresión aritmética infinita cuyos términos son enteros positivos contiene el cuadrado de un entero y el cubo de un entero. Demuestra que contiene la sexta potencia de un entero.
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1998 Problema 8
Sea $n\ge 2$ un entero. Demuestra que existe un subconjunto $A\in \{1,2,\ldots ,n\}$ tal que: i) El número de elementos de $A$ es a lo sumo $2\lfloor\sqrt{n}\rfloor+1$ ii) $ \{ |x-y| \mid x,y\in A, x\not= y\} = \{ 1,2,\ldots n-1 \}$
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1998 Problema 7
Encuentra todos los enteros positivos $(x, n)$ tales que $x^{n}+2^{n}+1$ divide a $x^{n+1}+2^{n+1}+1$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1998 Problema 6
Todos los vértices de un pentágono convexo están en puntos reticulares. Demuestra que el área del pentágono es al menos $\frac{5}{2}$ .
Olimpiada de Selección de Equipos de Rumania 1998 Problema 5
Se nos da un triángulo isósceles $ABC$ tal que $BC=a$ y $AB=BC=b$ . Los puntos variables $M\in (AC)$ y $N\in (AB)$ satisfacen $a^2\cdot AM \cdot AN = b^2 \cdot BN \cdot CM$ . Las líneas rectas $BM$ y $CN$ se intersecan en $P$ . Encuentra el lugar geométrico del punto variable $P$ .
Olimpiada Distrital 2014 Problema 1
En el paralelepípedo rectangular $ABCDA^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ , con $AB=12\sqrt{3}$ cm y $AA^{\prime}=18$ cm, consideramos los puntos $P\in AA^{\prime}$ y $N\in A^{\prime}B^{\prime}$ tales que $A^{\prime}N=3B^{\prime}N$ . Determinar la longitud del segmento de línea $AP$ tal que para cualquier posición del punto $M\in BC$ , el triángulo $MNP$ es rectángulo en $N$ .
Olimpiada Distrital 2014 Problema 4
Sea $(G,\cdot)$ un grupo sin elementos de orden 4, y sea $f:G\rightarrow G$ un morfismo de grupo tal que $f(x)\in\{x,x^{-1}\}$ , para todo $x\in G$ . Demostrar que o bien $f(x)=x$ para todo $x\in G$ , o bien $f(x)=x^{-1}$ para todo $x\in G$ .
Olimpiada Distrital 2014 Problema 3
Sea $(A,+,\cdot)$ un anillo unitario con la propiedad: para todo $x\in A$ , \[ x+x^{2}+x^{3}=x^{4}+x^{5}+x^{6} ] Sea $x\in A$ y sea $n\geq2$ un entero tal que $x^{n}=0$ . Demostrar que $x=0$ . Demostrar que $x^{4}=x$ , para todo $x\in A$ .
Olimpiada Distrital 2014 Problema 2
Sea $f:[0,1]\rightarrow{\mathbb{R}}$ una función diferenciable, con derivada continua, y sea \[ s_{n}=\sum_{k=1}^{n}f\left( \frac{k}{n}\right) ] Demostrar que la secuencia $(s_{n+1}-s_{n})_{n\in{\mathbb{N}^{\ast}}}$ converge a $\int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x$ .
Olimpiada Distrital 2014 Problema 1
Para cada entero positivo $n$ consideramos la función $f_{n}:[0,n]\rightarrow{\mathbb{R}}$ definida por $f_{n}(x)=\arctan{\left(\left\lfloor x\right\rfloor \right)} $ , donde $\left\lfloor x\right\rfloor $ denota la parte entera del número real $x$ . Demostrar que $f_{n}$ es una función integrable de Riemann y encontrar $\underset{n\rightarrow\infty}{\lim}\frac{1}{n}\int_{0}^{n}f_{n}(x)\mathrm{d}x.$