Se dice que dos círculos en un espacio tridimensional son tangentes por pares en un punto $P$ si ambos pasan por $P$ y las líneas tangentes a cada círculo en $P$ coinciden. Tres círculos no todos en un plano son tangentes por pares en tres puntos distintos. Demuestra que existe una esfera que pasa por los tres círculos.

¿Existe un número natural $N$ que sea una potencia de 2, tal que se puedan permutar sus dígitos decimales para obtener una potencia diferente de 2?

Sean $A_1,A_2,\cdots,A_n$ $n$ puntos distintos en el plano ( $n>1$ ) . Consideramos todos los segmentos $A_iA_j$ donde $i<j\leq{n}$ y coloreamos los puntos medios de ellos. ¿Cuál es el número mínimo de puntos coloreados? (De hecho, si $k$ puntos coloreados coinciden, los contamos $1$ . )

Sea $ABC$ un triángulo y los puntos $P,Q,R$ estén en los lados $AB,BC,AC$ , respectivamente. Ahora, sean $A',B',C'$ en los segmentos $PR,QP,RQ$ de tal manera que $AB||A'B'$ , $BC||B'C'$ y $AC||A'C'$ . Pruebe que:\n\[\n\frac{AB}{A'B'}=\frac{S_{PQR}}{S_{A'B'C'}}.\n\]\nDonde $S_{XYZ}$ es la superficie del triángulo $XYZ$ .

Encuentra todos los enteros positivos $m$ tales que existen enteros positivos $a_1,a_2,\ldots,a_{1378}$ tales que:\n\[\nm=\sum_{k=1}^{1378}{\frac{k}{a_k}}.\n\]

Tenemos un jardín de $100\times100$ y hemos plantado $10000$ árboles en los cuadrados de $1\times1$ (exactamente uno en cada uno.). Encuentra el número máximo de árboles que podemos cortar tal que en el segmento entre cada dos árboles cortados, exista al menos un árbol sin cortar.

$ABC$ es un triángulo con $\angle{B}>45^{\circ}$ , $\angle{C}>45^{\circ}$ . Dibujamos los triángulos isósceles $CAM,BAN$ en los lados $AC,AB$ y fuera del triángulo, respectivamente, tales que $\angle{CAM}=\angle{BAN}=90^{\circ}$ . Y dibujamos el triángulo isósceles $BPC$ en el lado $BC$ y dentro del triángulo tal que $\angle{BPC}=90^{\circ}$ . Pruebe que $\Delta{MPN}$ es un triángulo isósceles, también, y $\angle{MPN}=90^{\circ}$ .

¿Existe un entero positivo que sea una potencia de $2$ y que al intercambiar sus dígitos obtengamos otra potencia de $2$? Justifica tu respuesta.

$p$ es un polinomio con coeficientes enteros y para todo $n$ natural tenemos $p(n)>n$ . $x_k $ es una secuencia que: $x_1=1, x_{i+1}=p(x_i)$ para todo $N$ uno de $x_i$ es divisible por $N.$ Demuestre que $p(x)=x+1$

Suponga que $G$ es un grafo y $S\subset V(G)$ . Suponga que hemos asignado arbitrariamente números reales a cada elemento de $S$ . Demuestre que podemos asignar números a cada vértice en $G\backslash S$ de modo que para cada $v\in G\backslash S$ el número asignado a $v$ es el promedio de sus vecinos.