Sean $n$ puntos dados en un círculo, y sean $nk + 1$ cuerdas entre estos puntos, donde $2k+1 < n$ . Muestra que es posible seleccionar $k+1$ de las cuerdas de modo que no haya dos que se intersequen.

Encuentra todas las f:N $\longrightarrow$ N que: a) $f(m)=1 \Longleftrightarrow m=1 $ b) $d=gcd(m,n) f(m\cdot n)= \frac{f(m)\cdot f(n)}{f(d)} $ c) $ f^{2000}(m)=f(m) $

Denotemos $\prod = \{(x, y) | y > 0\}$. Llamamos a un semicírculo en $\prod$ con centro en el eje $x$ una semi-línea . Dos semi-líneas que se intersecan determinan cuatro semi-ángulos . Una bisectriz de un semi-ángulo es una semi-línea que biseca el semi-ángulo . Demuestra que en todo semi-triángulo (determinado por tres semi-líneas ) las bisectrices son concurrentes.

Suponga que $f : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{N}$ es una función que satisface $f(1) = 1$ y $f(n + 1) =\{\begin{array}{cc} f(n)+2&\mbox{if}\ n=f(f(n)-n+1),\f(n)+1& \mbox{Otherwise}\end {array}$ $(a)$ Demuestra que $f(f(n)-n+1)$ es $n$ o $n+1$. $(b)$ Determin e $f$.

Sean $A$ y $B$ conjuntos finitos arbitrarios y sean $f: A\longrightarrow B$ y $g: B\longrightarrow A$ funciones tales que $g$ no es sobreyectiva. Demuestra que existe un subconjunto $S$ de $A$ tal que $\frac{A}{S}=g(\frac{B}{f(S)})$.

Dos círculos se intersecan en dos puntos $A$ y $B$. Una línea $\ell$ que pasa por el punto $A$ se encuentra con los dos círculos nuevamente en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los arcos $BC$ y $BD$ (que no contienen el punto $A$ ) en los círculos respectivos. Sea $K$ el punto medio del segmento $CD$. Demuestra que $\measuredangle MKN = 90^{\circ}$.

Dos triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ están posicionados en el espacio de tal manera que la longitud de cada lado de $ \triangle ABC$ no es menor que $a$, y la longitud de cada lado de $ \triangle A'B'C'$ no es menor que $a'$. Demuestra que se puede seleccionar un vértice de $ \triangle ABC$ y un vértice de $ \triangle A'B'C'$ de modo que la distancia entre los dos vértices seleccionados no sea menor que $ \sqrt {\frac {a^2 + a'^2}{3}}$.

Los círculos $C_1$ y $C_2$ con centros en $O_1$ y $O_2$ respectivamente se encuentran en los puntos $A$ y $B$. Los radios $O_1B$ y $O_2B$ se encuentran con $C_1$ y $C_2$ en $F$ y $E$. La línea que pasa por $B$ paralela a $EF$ interseca a $C_1$ nuevamente en $M$ y a $C_2$ nuevamente en $N$. Demuestra que $MN = AE + AF$.

Una secuencia de números naturales $c_1, c_2,\dots$ se llama perfecta si todo número natural $m$ con $1\le m \le c_1 +\dots+ c_n$ puede representarse como $m =\frac{c_1}{a_1}+\frac{c_2}{a_2}+\dots+\frac{c_n}{a_n}$ Dado $n$ , encuentra el máximo valor posible de $c_n$ en una secuencia perfecta $(c_i)$.

En una baraja de $n > 1$ cartas, algunos dígitos del $1$ al $8$ están escritos en cada carta. Un dígito puede aparecer más de una vez, pero como máximo una vez en una determinada carta. En cada carta está escrito al menos un dígito, y no hay dos cartas denotadas por el mismo conjunto de dígitos. Suponga que para cada $k=1,2,\dots,7$ dígitos, el número de cartas que contienen al menos uno de ellos es par. Encuentra $n$.