Alice está dibujando una forma en un pedazo de papel. Ella comienza colocando su lápiz en el origen, y luego dibuja segmentos de línea de longitud uno, alternando entre segmentos verticales y horizontales. Eventualmente, su lápiz regresa al origen, formando una forma cerrada que no se auto-intersecta. Demuestra que el área de esta forma es par si y solo si su perímetro es un múltiplo de ocho.

Sean $m,n\geq 2$ enteros positivos y $S\subseteq [1,m]\times [1,n]$ un conjunto de puntos de la retícula. Demuestra que si \[|S|\geq m+n+\bigg\lfloor\frac{m+n}{4}-\frac{1}{2}\bigg\rfloor\] entonces existe un círculo que pasa por al menos cuatro puntos distintos de $S.$

Cualquier entero positivo $N$ que pueda expresarse como la suma de tres cuadrados obviamente puede escribirse como \[N=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{1+abcd}\] donde $a,b,c,d$ son enteros no negativos. ¿Es verdadera la afirmación mutua?

Sea $n\geq 2$ un entero. Sean $a_{ij}, \ i,j=1,2,\ldots,n$ sean $n^2$ números reales positivos que satisfacen las siguientes condiciones: Para todo $i=1,\ldots,n$ tenemos $a_{ii}=1$ y, Para todo $j=2,\ldots,n$ los números $a_{ij}, \ i=1,\ldots, j-1$ forman una permutación de $1/a_{ji}, \ i=1,\ldots, j-1.$ Dado que $S_i=a_{i1}+\cdots+a_{in}$ , determina el valor máximo de la suma $1/S_1+\cdots+1/S_n.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y sean $B'$ y $C'$ los pies de las alturas $B$ y $C$ del triángulo $ABC$ respectivamente. Sean $B_A'$ y $B_C'$ reflejos de $B'$ con respecto a las líneas $BC$ y $AB$ , respectivamente. El círculo $BB_A'B_C'$ , centrado en $O_B$ , intersecta la línea $AB$ en $X_B$ por segunda vez. Los puntos $C_A', C_B', O_C, X_C$ se definen análogamente, reemplazando el par $(B, B')$ con el par $(C, C')$ . Demuestra que $O_BX_B$ y $O_CX_C$ son paralelos.

Sea $ABC$ un triángulo escaleno agudo y sea $\omega$ su círculo de Euler. La tangente $t_A$ de $\omega$ en el pie de la altura $A$ del triángulo ABC, intersecta el círculo de diámetro $AB$ en el punto $K_A$ por segunda vez. La línea determinada por los pies de las alturas $A$ y $C$ del triángulo $ABC$ intersecta las líneas $AK_A$ y $BK_A$ en los puntos $L_A$ y $M_A$ , respectivamente, y las líneas $t_A$ y $CM_A$ se intersectan en el punto $N_A$ . Los puntos $K_B, L_B, M_B, N_B$ y $K_C, L_C, M_C, N_C$ se definen de manera similar para $(B, C, A)$ y $(C, A, B)$ respectivamente. Demuestra que las líneas $L_AN_A, L_BN_B,$ y $L_CN_C$ son concurrentes.

Sea $(R,+,\cdot)$ un anillo con centro $Z=\{a\in\mathbb{R}:ar=ra,\forall r\in\mathbb{R}\}$ con la propiedad de que el grupo $U=U(R)$ de sus elementos invertibles es finito. Dado que $G$ es el grupo de automorfismos del grupo aditivo $(R,+),$ demuestra que $\[|G|\geq\frac{|U|^2}{|Z\cap U|}.\]

Sean $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dos funciones no decrecientes. Demuestra que para cualquier $a\in\mathbb{R},$ $b\in[f(a-0),f(a+0)]$ y $x\in\mathbb{R},$ la siguiente desigualdad se cumple $\[\int_a^xf(t) \ dt\geq b(x-a).\] Dado que $[f(a-0),f(a+0)]\cap[g(a-0),g(a+0)]\neq\emptyset$ para cualquier $a\in\mathbb{R},$ demuestra que para cualquier número real $a<b$ $\[\int_a^b f(t) \ dt=\int_a^b g(t) \ dt.\] Nota: $h(a-0)$ y $h(a+0)$ denotan los límites a la izquierda y a la derecha respectivamente de una función $h$ en el punto $a\in\mathbb{R}.$

Determina todos los anillos $(A,+,\cdot)$ tales que $x^3\in\{0,1\}$ para cualquier $x\in A.$

Sean $A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ tales que $A^2+B^2=2AB.$ Demuestra que para cualquier número complejo $x$ $\[\det(A-xI_n)=\det(B-xI_n).\]