En el triángulo $ABC$ , $M$ es el punto medio de $AB$ y $B'$ es el pie de la altura de $B$ . $CB'M$ interseca la línea $BC$ por segunda vez en $D$ . Las circunferencias circunscritas de $CB'M$ y $ABD$ se intersecan nuevamente en $K$ . La paralela a $AB$ que pasa por $C$ interseca el círculo $CB'M$ nuevamente en $L$ . Demuestra que $KL$ corta a $CM$ por la mitad.

En un triángulo $ABC$ el incentro, el $B$ - excentro y el $C$ - excentro son $I, K$ y $L$ , respectivamente. Las perpendiculares en $B$ y $C$ a $BC$ intersecan las líneas $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Demuestra que las circunferencias circunscritas de $AEF, FIL, EIK$ concurren.

Encuentra todas las secuencias $(a_n)_{n\geq 1}$ de enteros positivos tales que para todos los enteros $n\geq 3$ tengamos $$\dfrac{1}{a_1 a_3} + \dfrac{1}{a_2a_4} + \cdots + \dfrac{1}{a_{n-2}a_n}= 1 - \dfrac{1}{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{n-1}^2}.$$

Kimia tiene un reloj extraño; el segundero del reloj avanza 34 o 47 segundos en lugar de cada segundo normal, al azar. Como ejemplo, si el reloj muestra la hora como $\text{12:23:05}$ , las siguientes horas podrían mostrarse en este orden: $$\text{12:23:39, 12:24:13, 12:25:00, 12:25:34, 12:26:21,\dots}$$ Demuestra que el segundero del reloj eventualmente caerá en un cuadrado perfecto.

Demuestra que para todo número natural $ n$ existe un polinomio $ p(x)$ con coeficientes enteros tal que $ p(1),p(2),...,p(n)$ son potencias distintas de $ 2$ .

Suponga que $a, b, c$ son números reales tales que para todos los números positivos $x_1,x_2,\dots,x_n$ tenemos $(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i)^a(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^2)^b(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^3)^c\ge 1$ Demuestra que el vector $(a, b, c)$ es una combinación lineal no negativa de los vectores $(-2,1,0)$ y $(-1,2,-1)$ .

Sea $n$ un entero positivo. Suponga que $S$ es un conjunto de $n-\mbox{tuplas}$ ordenadas de enteros no negativos tal que, siempre que $(a_1,\dots,an)\in S$ y $b_i$ son enteros no negativos con $b_i\le a_i$ , la $n-\text{tupla}$ $(b_1,\dots,b_n)$ también está en $S$ . Si $h_m$ es el número de elementos de $S$ con la suma de los componentes igual a $m$ , demuestra que $h_m$ es un polinomio en $m$ para todo $m$ suficientemente grande.

Un círculo $\Gamma$ con radio $R$ y centro $\omega$ , y una línea $d$ se dibujan en un plano, de tal manera que la distancia de $\omega$ de $d$ es mayor que $R$ . Dos puntos $M$ y $N$ varían en $d$ de modo que el círculo con diámetro $MN$ es tangente a $\Gamma$ . Demuestra que hay un punto $P$ en el plano desde el cual todos los segmentos $MN$ son visibles en un ángulo constante.

Los triángulos isósceles $A_3A_1O_2$ y $A_1A_2O_3$ se construyen en los lados de un triángulo $A_1A_2A_3$ como bases, fuera del triángulo. Sea $O_1$ un punto fuera de $\Delta A_1A_2A_3$ tal que $\angle O_1A_3A_2 =\frac 12\angle A_1O_3A_2$ y $\angle O_1A_2A_3 =\frac 12\angle A_1O_2A_3$ . Demuestra que $A_1O_1\perp O_2O_3$ , y si $T$ es la proyección de $O_1$ sobre $A_2A_3$ , entonces $\frac{A_1O_1}{O_2O_3} = 2\frac{O_1T}{A_2A_3}$ .

En un torneo de tenis donde $ n$ jugadores $ A_1,A_2,\dots,A_n$ participan, dos jugadores cualesquiera juegan como máximo un partido, y $ k \leq \frac {n(n - 1)}{2}$ $ 2$ partidos se juegan. El ganador de un partido obtiene $ 1$ punto mientras que el perdedor obtiene $ 0$ . Demuestra que una secuencia $ d_1,d_2,\dots,d_n$ de enteros no negativos puede ser la secuencia de puntuaciones de los jugadores ( $ d_i$ siendo la puntuación de $ A_i$ ) si y sólo si $ (i)\ \ d_1 + d_2 + \dots + d_n = k$ , y $ (ii)\ \text{para cualquier} X\subset\{A_1,\dots,A_n\}$ , el número de partidos entre los jugadores en $ X$ es como máximo $ \sum_{A_j\in X}d_j$