7 Resuelva el siguiente sistema para $x,y,z$ reales: \[ \left\{ \begin{array}{ccc} x+ y -z & =& 4 \\ x^2 - y^2 + z^2 & = & -4 \\ xyz & =& 6. \end{array} \right. \]

9 El triángulo $ABC$ tiene un incentro $I$ y su incírculo toca el lado $BC$ en $T$. La recta que pasa por $T$ y es paralela a $IA$ corta al incírculo nuevamente en $S$, y la tangente al incírculo en $S$ corta a $AB$ y $AC$ en los puntos $C'$ y $B'$, respectivamente. Demuestre que el triángulo $AB'C'$ es semejante al triángulo $ABC$.

44 ¿Cuál es el mayor número de bolas de radio $1/2$ que pueden colocarse dentro de una caja rectangular de tamaño $10 \times 10 \times 1 \ ?$ Amir

41 Dado un $n$-gono regular $A_{1}A_{2}...A_{n}$ (con $n\geq 3$) en un plano. ¿Cuántos triángulos del tipo $A_{i}A_{j}A_{k}$ son obtusos?

37 Demuestre que las cuatro perpendiculares trazadas desde los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cíclico hacia los lados opuestos respectivos son concurrentes. Nota de Darij: Un cuadrilátero cíclico es un cuadrilátero inscrito en un círculo.

46 Sean $a,b,c$ números reales y \[f(a, b, c) = \left| \frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} -\frac 2c \right| +\frac{ |b-a|}{|ab|} +\frac{b+a}{ab} +\frac 2c\] Demuestre que $f(a, b, c) = 4 \max \{\frac 1a, \frac 1b,\frac 1c \}.$ Amir

8 Un río fluye entre dos casas $ A$ y $ B$, las cuales se encuentran a ciertas distancias de las orillas. ¿Dónde debería construirse un puente sobre el río para que una persona que va de $ A$ a $ B$, utilizando el puente para cruzar el río, pueda hacerlo por el camino más corto? Suponga que las orillas del río son rectas y paralelas, y que el puente debe ser perpendicular a las orillas.

9 Una computadora genera los valores de la expresión $(n+1) \cdot 2^n$ para $n = 1, n = 2, n = 3$, etc. ¿Cuál es el mayor número de valores consecutivos que son cuadrados perfectos?

8 Determine todos los pares $(m,n)$ de enteros positivos para los cuales $2^{m} + 3^{n}$ es un cuadrado perfecto.

11 Sea $S$ un conjunto finito con $n$ $(n>1)$ elementos, $M$ el conjunto de todos los subconjuntos de $S$ y una función $f:M\rightarrow\mathbb{R}$, que verifica la relación $f(A\cap B)=\min\{f(A),f(B)\}, \forall A,B\in M$. Demuestre que $$\sum_{A\in M} (-1)^{n-|A|}\cdot f(A)=f(S)-\max\{f(A)|A\in M, A\neq S\},$$ donde $|A|$ es el número de elementos del subconjunto $A$.