Sea $\mathcal{F}$ el conjunto de funciones continuas $f : [0, 1]\to\mathbb{R}$ que satisfacen $\max_{0\le x\le 1} |f(x)| = 1$ y sea $I : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$, $$I(f) = \int_0^1 f(x)\, \text{d}x - f(0) + f(1).$$ a) Demostrar que $I(f) < 3$, para cualquier $f \in \mathcal{F}$. b) Determinar $\sup\{I(f) \mid f \in \mathcal{F}\}$.