Sea $\displaystyle M$ un conjunto compuesto por $\displaystyle n$ elementos y sea $\displaystyle \mathcal P (M)$ su conjunto potencia. Hallar todas las funciones $\displaystyle f : \mathcal P (M) \to \{ 0,1,2,\ldots,n \}$ que tienen las propiedades (a) $\displaystyle f(A) \neq 0$ , para $\displaystyle A \neq \phi$ ; (b) $\displaystyle f \left( A \cup B \right) = f \left( A \cap B \right) + f \left( A \Delta B \right)$ , para todo $\displaystyle A,B \in \mathcal P (M)$ , donde $\displaystyle A \Delta B = \left( A \cup B \right) \backslash \left( A \cap B \right)$ .

$\displaystyle 2n$ estudiantes $\displaystyle (n \geq 5)$ participaron en un concurso de tenis de mesa, que duró $\displaystyle 4$ días. En cada día, cada estudiante jugó un partido. (Es posible que la misma pareja se encuentre dos o más veces, en diferentes días) Demostrar que es posible que el concurso termine así: - sólo hay un ganador; - hay $\displaystyle 3$ estudiantes en el segundo lugar; - ningún estudiante perdió los $\displaystyle 4$ partidos. ¿Cuántos estudiantes ganaron sólo un partido y cuántos ganaron exactamente $\displaystyle 2$ partidos? (En las condiciones anteriores)

Tenemos un cuadrilátero $ABCD$ inscrito en una circunferencia de radio $r$ , para el cual existe un punto $P$ en $CD$ tal que $CB=BP=PA=AB$ . (a) Demostrar que existen puntos $A,B,C,D,P$ que cumplen las condiciones anteriores. (b) Demostrar que $PD=r$ .

Sean $\displaystyle ABC$ y $\displaystyle DBC$ triángulos isósceles con la base $\displaystyle BC$ . Sabemos que $\displaystyle \measuredangle ABD = \frac{\pi}{2}$ . Sea $\displaystyle M$ el punto medio de $\displaystyle BC$ . Los puntos $\displaystyle E,F,P$ son elegidos tales que $\displaystyle E \in (AB)$ , $\displaystyle P \in (MC)$ , $\displaystyle C \in (AF)$ , y $\displaystyle \measuredangle BDE = \measuredangle ADP = \measuredangle CDF$ . Demostrar que $\displaystyle P$ es el punto medio de $\displaystyle EF$ y $\displaystyle DP \perp EF$ .

Hallar el valor máximo de \[ \left( x^3+1 \right) \left( y^3 + 1\right) , \] donde $x,y \in \mathbb R$ , $x+y=1$ .

Sean $a,b,c \in \left[ \frac 12, 1 \right]$ . Demostrar que \[ 2 \leq \frac{ a+b}{1+c} + \frac{ b+c}{1+a} + \frac{ c+a}{1+b} \leq 3 . \]

Sea $ABCDA_1B_1C_1D_1$ un cubo y $P$ un punto variable en el lado $[AB]$ . El plano perpendicular a $AB$ que pasa por $P$ interseca a la recta $AC'$ en $Q$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $A'P$ y $BQ$ respectivamente. a) Demostrar que las rectas $MN$ y $BC'$ son perpendiculares si y sólo si $P$ es el punto medio de $AB$ . b) Hallar el valor mínimo del ángulo entre las rectas $MN$ y $BC'$ .

Sea $n$ un entero positivo. Demostrar que existe un entero $k$ , $k\geq 2$ , y números $a_i \in \{ -1, 1 \}$ , tales que \[ n = \sum_{1\leq i < j \leq k } a_ia_j . \]

Consideramos un prisma con 6 caras, 5 de las cuales son cuadriláteros circunscriptibles. Demostrar que todas las caras del prisma son cuadriláteros circunscriptibles.

Sea $A$ un conjunto de enteros positivos con al menos 2 elementos. Se da que para cualesquiera números $a>b$ , $a,b \in A$ tenemos $\frac{ [a,b] }{ a- b } \in A$ , donde por $[a,b]$ hemos denotado el mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ . Demostrar que el conjunto $A$ tiene exactamente dos elementos.