En una cena hay $N$ anfitriones y $N$ invitados, sentados alrededor de una mesa circular, donde $N\geq 4$ . Un par de dos invitados conversarán entre sí si hay como máximo una persona sentada entre ellos o si hay exactamente dos personas entre ellos, al menos una de las cuales es un anfitrión. Demuestra que no importa cómo estén sentadas las $2N$ personas en la cena, al menos $N$ pares de invitados conversarán entre sí.

Sea $n\geq 2$ un entero positivo fijo y suponga que $a_1, a_2,\dots,a_n$ son números reales positivos que satisfacen $a_1+a_2+\cdots+a_n=2^n-1$ . Encuentra el valor mínimo posible de $$\frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{1+a_1}+\frac{a_3}{1+a_1+a_2}+\cdots+\frac{a_n}{1+a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}}$$

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralelo a $CD$ , $|AB|>|CD|$ , y lados iguales $|AD|=|BC|$ . Sea $I$ el centro del círculo tangente a las líneas $AB$ , $AC$ y $BD$ , donde $A$ e $I$ están en lados opuestos de $BD$ . Sea $J$ el centro del círculo tangente a las líneas $CD$ , $AC$ y $BD$ , donde $D$ y $J$ están en lados opuestos de $AC$ . Demuestra que $|IC|=|JB|$ .

Las alturas de un tetraedro $ABCD$ se extienden externamente a los puntos $A'$ , $B'$ , $C'$ , y $D'$ , donde $AA' = k/h_a$ , $BB' = k/h_b$ , $CC' = k/h_c$ , y $DD' = k/h_d$ . Aquí, $k$ es una constante y $h_a$ denota la longitud de la altura de $ABCD$ desde el vértice $A$ , etc. Prueba que el centroide del tetraedro $A'B'C'D'$ coincide con el centroide de $ABCD$ .

Sea $p$ una permutación del conjunto $S_n = \{1, 2, \dots, n\}$ . Un elemento $j \in S_n$ se llama punto fijo de $p$ si $p(j) = j$ . Sea $f_n$ el número de permutaciones que no tienen puntos fijos, y $g_n$ el número con exactamente un punto fijo. Muestra que $|f_n - g_n| = 1$ .

Sea $\mathbb{R}^n$ el espacio euclidiano de dimensión $n$ . Determina el número más pequeño $g(n)$ de puntos de un conjunto en $\mathbb{R}^n$ tal que cada punto en $\mathbb{R}^n$ está a una distancia irracional de al menos un punto en ese conjunto.

Si $a$ , $b$ y $c$ son las raíces de la ecuación $x^3 - x^2 - x - 1 = 0$ , (i) muestra que $a$ , $b$ y $c$ son distintas: (ii) muestra que \n\[\frac{a^{1982} - b^{1982}}{a - b} + \frac{b^{1982} - c^{1982}}{b - c} + \frac{c^{1982} - a^{1982}}{c - a}\]\nes un entero.

En el diagrama, $OB_i$ es paralelo e igual en longitud a $A_i A_{i + 1}$ para $i = 1$ , 2, 3, y 4 ( $A_5 = A_1$ ) . Muestra que el área de $B_1 B_2 B_3 B_4$ es el doble del área de $A_1 A_2 A_3 A_4$ . [asy]\nunitsize(1 cm);\n\npair O;\npair[] A, B;\n\nO = (0,0);\nA[1] = (0.5,-3);\nA[2] = (2,0);\nA[3] = (-0.2,0.5);\nA[4] = (-1,0);\nB[1] = A[2] - A[1];\nB[2] = A[3] - A[2];\nB[3] = A[4] - A[3];\nB[4] = A[1] - A[4];\n\ndraw(A[1]--A[2]--A[3]--A[4]--cycle);\ndraw(B[1]--B[2]--B[3]--B[4]--cycle);\ndraw(O--B[1]);\ndraw(O--B[2]);\ndraw(O--B[3]);\ndraw(O--B[4]);\n\nlabel('$A_1$', A[1], S);\nlabel('$A_2$', A[2], E);\nlabel('$A_3$', A[3], N);\nlabel('$A_4$', A[4], W);\nlabel('$B_1$', B[1], NE);\nlabel('$B_2$', B[2], W);\nlabel('$B_3$', B[3], SW);\nlabel('$B_4$', B[4], S);\nlabel('$O$', O, E);\n[/asy]

Se juega un juego de 2 jugadores en $n\geq 3$ puntos, donde no hay 3 puntos colineales. Cada movimiento consiste en seleccionar 2 de los puntos y dibujar un nuevo segmento de línea que los conecte. El primer jugador en dibujar un segmento de línea que cree un ciclo impar pierde. (Un ciclo impar debe tener todos sus vértices entre los $n$ puntos desde el principio, por lo que los vértices del ciclo no pueden ser las intersecciones de las líneas dibujadas). Encuentra todos los $n$ tales que el jugador que se mueve primero gana.

Demuestra que para $n>1$ y números reales $a_0, a_1, \dots, a_n, k$ con $a_1 = a_{n-1} = 0$, $|a_0| - |a_n|\leq \sum_{i=0}^{n-2}|a_i - ka_{i+1} - a_{i+2}|.$