Suponga que los números primos $p$ y $q$ satisfacen $q^2+3p=197p^2+q$ . Escribe $\frac{p}{q}$ como $l+\frac{m}{n}$ , donde $l,m,n$ son enteros positivos, $m<n$ y $GCD(m,n)=1$ . Halla el valor máximo de $l+m+n$

Halla el número de pares ordenados $(a,b)$ tales que $a,b \in \{10,11,\cdots,29,30\}$ y $\hspace{1cm}$ $GCD(a,b)+LCM(a,b)=a+b$

Sean $a,b$ enteros positivos que satisfacen $a^3-b^3-ab=25$ . Halla el mayor valor posible de $a^2+b^3$

Sea $m$ el entero positivo más pequeño tal que $m^2+(m+1)^2+\cdots+(m+10)^2$ es el cuadrado de un entero positivo $n$ . Halla $m+n$

Comenzando con un entero positivo $M$ escrito en la pizarra, Alicia juega el siguiente juego: en cada movimiento, si $x$ es el número en la pizarra, ella lo reemplaza con $3x+2$ . Similarmente, comenzando con un entero positivo $N$ escrito en la pizarra, Bob juega el siguiente juego: en cada movimiento, si $x$ es el número en la pizarra, él lo reemplaza con $2x+27$ . Dado que Alicia y Bob alcanzan el mismo número después de jugar $4$ movimientos cada uno, halla el valor más pequeño de $M+N$

En un trapezoide $ABCD$ , la bisectriz interna del ángulo $A$ intersecta la base $BC$ (o su extensión) en el punto $E$ . Inscrito en el triángulo $ABE$ hay un círculo tocando el lado $AB$ en $M$ y el lado $BE$ en el punto $P$ . Encuentra el ángulo $DAE$ en grados, si $AB:MP=2$ .

En un paralelogramo $ABCD$ , un punto $P$ en el segmento $AB$ se toma tal que $\frac{AP}{AB}=\frac{61}{2022}$ y un punto $Q$ en el segmento $AD$ se toma tal que $\frac{AQ}{AD}=\frac{61}{2065}$ . Si $PQ$ intersecta a $AC$ en $T$ , halla $\frac{AC}{AT}$ al entero más cercano

Un triángulo $ABC$ con $AC=20$ está inscrito en un círculo $\omega$ . Una tangente $t$ a $\omega$ se dibuja a través de $B$ . La distancia de $t$ desde $A$ es $25$ y desde $C$ es $16$ . Si $S$ denota el área del triángulo $ABC$ , halla el mayor entero que no exceda $\frac{S}{20}$

Nina y Tadashi juegan el siguiente juego. Inicialmente, una tripleta $(a, b, c)$ de enteros no negativos con $a+b+c=2021$ está escrita en una pizarra. Nina y Tadashi luego hacen movimientos por turnos, con Nina primero. Un jugador que realiza un movimiento elige un entero positivo $k$ y una de las tres entradas en el tablero; luego el jugador aumenta la entrada elegida en $k$ y disminuye las otras dos entradas en $k$ . Un jugador pierde si, en su turno, alguna entrada en el tablero se vuelve negativa. Encuentra el número de tripletas iniciales $(a, b, c)$ para las cuales Tadashi tiene una estrategia ganadora.

Una función $f$ de los enteros positivos a los enteros positivos se llama canadiense si satisface $$\gcd\left(f(f(x)), f(x+y)\right)=\gcd(x, y)$$ para todos los pares de enteros positivos $x$ e $y$ . Encuentra todos los enteros positivos $m$ tales que $f(m)=m$ para todas las funciones canadienses $f$ .