Para un entero positivo $m$ denotamos por $\tau (m)$ el número de sus divisores positivos, y por $\sigma (m)$ su suma. Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $n \sqrt{ \tau (n) }\le \sigma(n)$

Sea $n$ un entero positivo. $2n+1$ fichas están en una fila, cada una de ellas es negra o blanca. Se dice que una ficha está balanceada si el número de fichas blancas a su izquierda más el número de fichas negras a su derecha es $n$ . Determine si el número de fichas balanceadas es par o impar.

Números reales $a,b,c,d$ tales que $|a|>1$ , $|b|>1$ , $|c|>1$ , $|d|>1$ y $ab(c+d)+dc(a+b)+a+b+c+d=0$ entonces demuestre que $\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}+\frac{1}{c-1}+\frac{1}{d-1} >0$

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con ${\angle B<\angle C}$ . La línea $AO$ se encuentra con el lado $BC$ en $D$ . Los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ son $E$ y $F$ , respectivamente. Extienda los lados $BA$ y $CA$ más allá de $A$ , y elija en las extensiones respectivas los puntos $G$ y $H$ tales que ${AG=AC}$ y ${AH=AB}$ . Demuestre que el cuadrilátero $EFGH$ es un rectángulo si y solo si ${\angle ACB-\angle ABC=60^{\circ }}$ .

Determine todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen enteros positivos $n$ y $m, m\ge 2$ , tales que $3^k + 5^k = n^m$

Sean $a$ y $b$ números reales positivos tales que $3(a^2+b^2-1) = 4(a+b$ ) . Encuentre el valor mínimo de la expresión $\frac{16}{a}+\frac{1}{b}$ .

Un círculo con centro $O$ es internamente tangente a dos círculos dentro de él en los puntos $S$ y $T$ . Suponga que los dos círculos interiores se intersecan en $M$ y $N$ con $N$ más cerca de $ST$ . Demuestre que $OM$ y $MN$ son perpendiculares si y solo si $S,N, T$ son colineales.

Sea $n$ un entero positivo y $A$ un conjunto que contiene $8n + 1$ enteros positivos coprimos con $6$ y menores que $30n$ . Demuestre que existen $a, b \in A$ dos números diferentes tales que $a$ divide a $b$ .

Determine los enteros positivos $a$ y $b$ coprimos tales que $a^2+b = (a-b)^3$ .

En cada cuadrado unitario de una tabla de $ n \times n$ ( $n \ge 11$ ) se escribe un número real, de tal manera que la suma de los números en cualquier cuadrado de $10 \times 10$ es positiva y la suma de los números en cualquier cuadrado de $11\times 11$ es negativa. Determine todos los valores posibles para $n$