Sea $N \geq 3$ un entero, y sean $a_0, \dots, a_{N-1}$ reales distintos por pares tales que $a_i \geq a_{2i}$ para todo $i$ (los índices se toman $\bmod~ N$). Encuentra todos los $N$ posibles para los cuales esto es posible.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ tales que para cualquier entero positivo $n$ y secuencia finita de enteros positivos $a_0, \dots, a_n$, siempre que el polinomio $a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$ tenga al menos una raíz entera, también la tiene $f(a_0)+f(a_1)x+\dots+f(a_n)x^n$.

Dado que $a_1, a_2, \dots, a_{10}$ son números reales positivos, determina el valor posible más pequeño de $\sum \limits_{i = 1}^{10} \left\lfloor \frac{7a_i}{a_i+a_{i+1}}\right\rfloor$ donde definimos $a_{11} = a_1$.

Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y centroide $G$. Sea $M$ el punto medio de $BC$ y $N$ la reflexión de $M$ a través de $O$. Demuestra que $NO = NA$ si y sólo si $\angle AOG = 90^{\circ}$.

Sea $N$ el número de maneras de distribuir $52$ bolas idénticas en $4$ cajas distinguibles tal que ninguna caja esté vacía y la diferencia entre el número de bolas en cualesquiera dos de las cajas no sea un múltiplo de $6$ Si $N=100a+b$ , donde $a,b$ son enteros positivos menores que $100$, halla $a+b.$

En un triángulo $ABC$, la mediana $AD$ divide a $\angle{BAC}$ en la razón $1:2$ . Extiende $AD$ a $E$ tal que $EB$ es perpendicular a $AB$ . Dado que $BE=3,BA=4$ , halla el entero más cercano a $BC^2$

Una secuencia binaria es una secuencia en la cual cada término es igual a $0$ o $1$ . Una secuencia binaria es llamada $\text{amigable}$ si cada término es adyacente a al menos un término que es igual a $1$ . Por ejemplo, la secuencia $0,1,1,0,0,1,1,1$ es $\text{amigable}$ . Sea $F_{n}$ denota el número de secuencias binarias $\text{amigables}$ con $n$ términos. Halla el menor entero positivo $n\ge 2$ tal que $F_{n}>100$

Una hormiga está en un vértice de un cubo. Cada $10$ minutos se mueve a un vértice adyacente a lo largo de una arista. Si $N$ es el número de viajes de una hora que terminan en el vértice inicial, halla la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$

Para un entero $n\ge 3$ y una permutación $\sigma=(p_{1},p_{2},\cdots ,p_{n})$ de $\{1,2,\cdots , n\}$ , decimos que $p_{l}$ es un punto $landmark$ si $2\le l\le n-1$ y $(p_{l-1}-p_{l})(p_{l+1}-p_{l})>0$ . Por ejemplo, para $n=7$ , la permutación $(2,7,6,4,5,1,3)$ tiene cuatro puntos landmark: $p_{2}=7$ , $p_{4}=4$ , $p_{5}=5$ y $p_{6}=1$ . Para un $n\ge 3$ dado, sea $L(n)$ denota el número de permutaciones de $\{1,2,\cdots ,n\}$ con exactamente un punto landmark. Halla el máximo $n\ge 3$ para el cual $L(n)$ es un cuadrado perfecto.

Considera una cadena de $n$ $1's$ . Deseamos colocar algunos signos $+$ entre ellos de manera que la suma sea $1000$ . Por ejemplo, si $n=190$ , uno puede poner signos $+$ de manera que obtenga $11$ noventa veces y $1$ diez veces, y obtener la suma $1000$ . Si $a$ es el número de enteros positivos $n$ para los cuales es posible colocar signos $+$ de manera que se obtenga la suma $1000$, entonces halla la suma de los dígitos de $a$